Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto de todos
tais que
, onde
é uma matriz
é um subespaço vetorial.
II - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
é um subespaço vetorial.
III - O conjunto
é um subespaço vetorial.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas III é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Apenas I e III são verdadeiras.
(G) Todas são falsas.
(H) Apenas I é verdadeira.
I - O conjunto de todos
II - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
III - O conjunto
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas III é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Apenas I e III são verdadeiras.
(G) Todas são falsas.
(H) Apenas I é verdadeira.
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmativas sobre subespaços vetoriais:
I – o conjunto onde
é
.
II – o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 tais que .
III – o conjunto .
O conteúdo é identificação de subespaços: precisamos verificar se cada conjunto contém o vetor zero, é fechado sob soma e multiplicação escalar.
I – o conjunto
II – o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 tais que
III – o conjunto
O conteúdo é identificação de subespaços: precisamos verificar se cada conjunto contém o vetor zero, é fechado sob soma e multiplicação escalar.
Passo 2
Analisando a afirmativa I, o conjunto
é o núcleo de
. Sabemos da teoria de espaços vetoriais que o núcleo de qualquer transformação linear (ou matriz) é sempre subespaço, pois contém o vetor zero, é fechado sob soma e escalar.
Passo 3
Na afirmativa II, o conjunto é
. Verificamos se o polinômio zero,
, satisfaz a condição:
logo
. O conjunto não contém o polinômio zero, portanto não é subespaço.
Passo 4
Na afirmativa III, o conjunto é
. Para ser subespaço precisaria conter o vetor zero
, o que não ocorre, e não é fechado sob soma (por exemplo,
). Logo não é subespaço.
Passo 5
Concluímos que apenas a afirmativa I é verdadeira.
Resposta
(H)