Q8: Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é LD, então
tem infinitas solução.
II - Se
é LI, então
tem solução única.
III - Se
é LI, então
não tem solução.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Todas são falsas.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Apenas III é verdadeira.
(H) Apenas I e II são verdadeiras.
I - Se
II - Se
III - Se
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Todas são falsas.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Apenas III é verdadeira.
(H) Apenas I e II são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado define
e dois sistemas lineares cujas matrizes aumentadas são
e
O conteúdo usado será: definição de dependência e independência linear, e as propriedades gerais de sistemas lineares homogêneos (única solução trivial quando colunas são LI) e não homogêneos (consistência depender do vetor termo estar no span das colunas).
Passo 2
Analisamos I: “Se
é LD, então
tem infinitas soluções.”
Como é LD existe relação
Como
com nem todos
nulos.
- Se
, então e é consistente. Porém, se forem LI a solução é única; se forem LD há infinitas soluções. - Se
, então são LD, e pode não estar no span delas, gerando até sistema sem solução.
Logo, não se garante sempre infinitas soluções, portanto I é falsa.
Passo 3
Analisamos II: “Se
é LI, então
tem solução única.”
Em temos um sistema homogêneo cujas colunas
são LI. Um sistema homogêneo com colunas LI só admite a solução trivial
. Logo, há solução única, e II é verdadeira.
Em
Passo 4
Analisamos III: “Se
é LI, então
não tem solução.”
Se é LI não existe relação
, pois isso faria
pertencer ao span de
e tornaria
dependente. Logo
e
é inconsistente. Portanto III é verdadeira.
Se
Passo 5
Somente II e III são verdadeiras, correspondendo à alternativa (A).
Resposta
(A) Apenas II e III são verdadeiras.