Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{5} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll|l} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \quad \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{ll|l} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \end{array}\right] .
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.
II - Se \beta é LI, então S_{1} tem solução única.
III - Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Todas são falsas.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Apenas III é verdadeira.
(H) Apenas I e II são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado define \beta=\{\vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\}\subset\mathbb R^5 e dois sistemas lineares cujas matrizes aumentadas são
S_{1}:\;x_{1}\vec v_{1}+x_{2}\vec v_{2}+x_{3}\vec v_{3}=\overrightarrow0
e
S_{2}:\;x_{1}\vec v_{1}+x_{2}\vec v_{2}=\vec v_{3}.
O conteúdo usado será: definição de dependência e independência linear, e as propriedades gerais de sistemas lineares homogêneos (única solução trivial quando colunas são LI) e não homogêneos (consistência depender do vetor termo estar no span das colunas).

Passo 2

Analisamos I: “Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas soluções.”
Como \beta é LD existe relação
a_{1}\vec v_{1}+a_{2}\vec v_{2}+a_{3}\vec v_{3}=0
com nem todos a_i nulos.
  • Se a_{3}\neq0, então \vec v_{3}\in\mathrm{span}\{\vec v_{1},\vec v_{2}\} e S_{2} é consistente. Porém, se \vec v_{1},\vec v_{2} forem LI a solução é única; se forem LD há infinitas soluções.
  • Se a_{3}=0, então \vec v_{1},\vec v_{2} são LD, e \vec v_{3} pode não estar no span delas, gerando até sistema sem solução.
    Logo, não se garante sempre infinitas soluções, portanto I é falsa.

Passo 3

Analisamos II: “Se \beta é LI, então S_{1} tem solução única.”
Em S_{1} temos um sistema homogêneo cujas colunas \vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3} são LI. Um sistema homogêneo com colunas LI só admite a solução trivial (x_{1},x_{2},x_{3})=(0,0,0). Logo, há solução única, e II é verdadeira.

Passo 4

Analisamos III: “Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.”
Se \beta é LI não existe relação x_{1}\vec v_{1}+x_{2}\vec v_{2}=\vec v_{3}, pois isso faria \vec v_{3} pertencer ao span de \{\vec v_{1},\vec v_{2}\} e tornaria \beta dependente. Logo \vec v_{3}\notin\mathrm{span}\{\vec v_{1},\vec v_{2}\} e S_{2} é inconsistente. Portanto III é verdadeira.

Passo 5

Somente II e III são verdadeiras, correspondendo à alternativa (A).

Resposta

(A) Apenas II e III são verdadeiras.

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