Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto de todos \vec{v} \in \mathbb{R}^{6} tais que A \vec{v}=0, onde A é uma matriz 7 \times 6 é um subespaço vetorial.
II - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(4)=8+p(2) é um subespaço vetorial.
III - O conjunto \{(1,1,1,1)\} \subset \mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas III é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Apenas I e III são verdadeiras.
(G) Todas são falsas.
(H) Apenas I é verdadeira.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmativas sobre subespaços vetoriais:
I – o conjunto \{\vec v\in\mathbb{R}^6\mid A\vec v=0\} onde A é 7\times6.
II – o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 tais que p(4)=8+p(2).
III – o conjunto \{(1,1,1,1)\}\subset\mathbb{R}^4.
O conteúdo é identificação de subespaços: precisamos verificar se cada conjunto contém o vetor zero, é fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Analisando a afirmativa I, o conjunto \{\vec v\in\mathbb{R}^6 \mid A\vec v=0\} é o núcleo de A. Sabemos da teoria de espaços vetoriais que o núcleo de qualquer transformação linear (ou matriz) é sempre subespaço, pois contém o vetor zero, é fechado sob soma e escalar.

Passo 3

Na afirmativa II, o conjunto é \{p\in P_2 \mid p(4)=8+p(2)\}. Verificamos se o polinômio zero, p(x)=0, satisfaz a condição:
p(4)=0,\quad 8+p(2)=8+0=8,
logo 0\neq8. O conjunto não contém o polinômio zero, portanto não é subespaço.

Passo 4

Na afirmativa III, o conjunto é \{(1,1,1,1)\}. Para ser subespaço precisaria conter o vetor zero (0,0,0,0), o que não ocorre, e não é fechado sob soma (por exemplo, (1,1,1,1)+(1,1,1,1)=(2,2,2,2)\notin\{(1,1,1,1)\}). Logo não é subespaço.

Passo 5

Concluímos que apenas a afirmativa I é verdadeira.

Resposta

(H)

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