Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I) O conjunto de todos \vec{v} \in \mathbb{R}^{4} tais que A \vec{v}=0, onde A é uma matriz 3 \times 4 é um subespaço vetorial.
II) O conjunto \{(1,1,1,1)\} \subset \mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial. III) O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(2)=6+p(8) é um subespaço vetorial.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Apenas III é verdadeira.
(H) Apenas I é verdadeira.

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais dentre os conjuntos descritos em I, II e III são subespaços vetoriais. Vamos usar o critério padrão de subespaço em espaços vetoriais: (a) conter o vetor zero, (b) ser fechado sob adição e (c) ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

I) Conjunto S=\{\vec v\in\mathbb{R}^4\mid A\vec v=0\}, onde A é 3\times4.
  1. O vetor zero satisfaz A\mathbf{0}=0, logo \mathbf{0}\in S.
  2. Se A\vec v=0 e A\vec w=0 então
A(\vec v+\vec w)=A\vec v+A\vec w=0+0=0,
logo \vec v+\vec w\in S.
3. Para qualquer escalar c,
A(c\,\vec v)=c\,(A\vec v)=c\cdot 0=0,
logo c\,\vec v\in S.
Portanto S é subespaço. I é verdadeira.

Passo 3

II) Conjunto T=\{(1,1,1,1)\}.
  • O vetor zero \mathbf{0}=(0,0,0,0) não pertence a T, pois o único elemento é (1,1,1,1)\neq\mathbf{0}.
  • Além disso, se pegarmos o escalar 2, temos 2\,(1,1,1,1)=(2,2,2,2)\notin T.
    Logo T não satisfaz os critérios de subespaço. II é falsa.

Passo 4

III) Conjunto U=\{p\in P_2\mid p(2)=6+p(8)\}, onde P_2 são polinômios de grau <=2.
  • O polinômio zero p_0(x)=0 não satisfaz p_0(2)=6+p_0(8), pois 0\neq6+0.
    Como zero não está em U, falha imediatamente o critério de subespaço. Além disso, a condição é não-homogênea (termo constante 6), mostrando que U é um conjunto afim, não um subespaço. III é falsa.

Passo 5

Somente I é verdadeira.

Resposta

(H) Apenas I é verdadeira.

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