Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I) O conjunto de todos
tais que
, onde
é uma matriz
é um subespaço vetorial.
II) O conjunto
é um subespaço vetorial. III) O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
é um subespaço vetorial.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Apenas III é verdadeira.
(H) Apenas I é verdadeira.
I) O conjunto de todos
II) O conjunto
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Apenas III é verdadeira.
(H) Apenas I é verdadeira.
Passo 1
O enunciado pede para verificar quais dentre os conjuntos descritos em I, II e III são subespaços vetoriais. Vamos usar o critério padrão de subespaço em espaços vetoriais: (a) conter o vetor zero, (b) ser fechado sob adição e (c) ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
I) Conjunto
, onde
é
.
- O vetor zero satisfaz
, logo . - Se
e então
logo
.
3. Para qualquer escalar ,
3. Para qualquer escalar
logo
.
Portanto é subespaço. I é verdadeira.
Portanto
Passo 3
II) Conjunto
.
- O vetor zero
não pertence a , pois o único elemento é . - Além disso, se pegarmos o escalar
, temos .
Logonão satisfaz os critérios de subespaço. II é falsa.
Passo 4
III) Conjunto
, onde
são polinômios de grau
.
- O polinômio zero
não satisfaz , pois .
Como zero não está em, falha imediatamente o critério de subespaço. Além disso, a condição é não-homogênea (termo constante 6), mostrando que é um conjunto afim, não um subespaço. III é falsa.
Passo 5
Somente I é verdadeira.
Resposta
(H) Apenas I é verdadeira.