Q15: Seja p(x)=1-7 x+21 x^{2} e
\beta=\left\{1+3 x+3 x^{2}, \quad 3+10 x+8 x^{2}, \quad 2+4 x+10 x^{2}\right\}
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) -2
(B) 4
(C) 3
(D) 1
(E) -1
(F) -4
(G) 2
(H) -3

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=1 - 7x + 21x^{2}
e a base
\beta = \{\,v_{1},v_{2},v_{3}\}
com
v_{1}=1+3x+3x^{2},\quad v_{2}=3+10x+8x^{2},\quad v_{3}=2+4x+10x^{2}.
Queremos as coordenadas [p]_{\beta}=(a,b,c) tais que
p(x)=a\,v_{1}(x)+b\,v_{2}(x)+c\,v_{3}(x),
e especificamente o valor de c.

Passo 2

Escrevendo p(x)=a v_{1}+b v_{2}+c v_{3} e comparando coeficientes de 1, x e x^{2}, obtemos o sistema
\begin{cases} a + 3b + 2c = 1,\\\\ 3a +10b + 4c = -7,\\\\ 3a + 8b +10c = 21. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação isolamos
a = 1 - 3b - 2c
e substituímos nas outras duas:
3(1 - 3b - 2c)+10b+4c=-7 \quad\Longrightarrow\quad b - 2c = -10,
3(1 - 3b - 2c)+8b+10c=21 \quad\Longrightarrow\quad -\,b + 4c = 18.
Dessas duas equações reduzidas, temos
b = -10 + 2c
e
-(-10+2c) + 4c = 18 \quad\Longrightarrow\quad 10 + 2c = 18 \quad\Longrightarrow\quad c = 4.

Resposta

(B) 4

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