Seja V um espaço vetorial de dimensão 5 . Considere as afirmativas abaixo:
I - Todo subconjunto de V com 6 vetores é LD.
II - Nem todo subconjunto LI de V com 5 vetores é uma base de V.
III - Nenhum subconjunto de V com 4 vetores gera V.
(A) Todas são falsas.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Apenas II é verdadeira.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas I e II são verdadeiras.
(H) Apenas I e III são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial V com \dim(V)=5 e pede para testar as afirmações sobre dependência linear, independência linear e geração. Vamos usar estes teoremas fundamentais em espaços vetoriais finito-dimensionais:
  1. Qualquer subconjunto com mais de \dim(V) vetores é linearmente dependente.
  2. Qualquer subconjunto com menos de \dim(V) vetores não gera o espaço.
  3. Qualquer subconjunto linearmente independente com exatamente \dim(V) vetores é uma base.

Passo 2

Analisando I: “Todo subconjunto de V com 6 vetores é LD.”
Como 6>5=\dim(V), pelo teorema 1 qualquer conjunto de 6 vetores em V é de fato linearmente dependente.
Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Analisando II: “Nem todo subconjunto LI de V com 5 vetores é uma base de V.”
Mas pelo teorema 3, todo subconjunto linearmente independente com exatamente 5 vetores (igual à dimensão) gera V e portanto é base.
Logo, II é falsa.

Passo 4

Analisando III: “Nenhum subconjunto de V com 4 vetores gera V.”
Como 4<5=\dim(V), pelo teorema 2 qualquer conjunto com 4 vetores não consegue gerar um espaço de dimensão 5.
Logo, III é verdadeira.

Passo 5

Compilando: I verdadeira, II falsa, III verdadeira.
Portanto apenas I e III são verdadeiras, o que corresponde à alternativa (H).

Resposta

(H) Apenas I e III são verdadeiras.

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