Seja
um espaço vetorial de dimensão 5 . Considere as afirmativas abaixo:
I - Todo subconjunto de
com 6 vetores é LD.
II - Nem todo subconjunto LI de
com 5 vetores é uma base de
.
III - Nenhum subconjunto de
com 4 vetores gera
.
(A) Todas são falsas.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Apenas II é verdadeira.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas I e II são verdadeiras.
(H) Apenas I e III são verdadeiras.
I - Todo subconjunto de
II - Nem todo subconjunto LI de
III - Nenhum subconjunto de
(A) Todas são falsas.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Apenas II é verdadeira.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas I e II são verdadeiras.
(H) Apenas I e III são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial
com
e pede para testar as afirmações sobre dependência linear, independência linear e geração. Vamos usar estes teoremas fundamentais em espaços vetoriais finito-dimensionais:
- Qualquer subconjunto com mais de
vetores é linearmente dependente. - Qualquer subconjunto com menos de
vetores não gera o espaço. - Qualquer subconjunto linearmente independente com exatamente
vetores é uma base.
Passo 2
Analisando I: “Todo subconjunto de
com 6 vetores é LD.”
Como , pelo teorema 1 qualquer conjunto de 6 vetores em
é de fato linearmente dependente.
Logo, I é verdadeira.
Como
Logo, I é verdadeira.
Passo 3
Analisando II: “Nem todo subconjunto LI de
com 5 vetores é uma base de
.”
Mas pelo teorema 3, todo subconjunto linearmente independente com exatamente 5 vetores (igual à dimensão) gera e portanto é base.
Logo, II é falsa.
Mas pelo teorema 3, todo subconjunto linearmente independente com exatamente 5 vetores (igual à dimensão) gera
Logo, II é falsa.
Passo 4
Analisando III: “Nenhum subconjunto de
com 4 vetores gera
.”
Como , pelo teorema 2 qualquer conjunto com 4 vetores não consegue gerar um espaço de dimensão 5.
Logo, III é verdadeira.
Como
Logo, III é verdadeira.
Passo 5
Compilando: I verdadeira, II falsa, III verdadeira.
Portanto apenas I e III são verdadeiras, o que corresponde à alternativa (H).
Portanto apenas I e III são verdadeiras, o que corresponde à alternativa (H).
Resposta
(H) Apenas I e III são verdadeiras.