Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto de todos \vec{v} \in \mathbb{R}^{9} tais que todas entradas de A \vec{v} são positivas, onde A é uma matriz 3 \times 9 é um subespaço vetorial.
II - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(5)=6 p(8) é um subespaço vetorial.
III - O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Apenas I e II são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado apresenta três conjuntos e pede para verificar quais deles são subespaços vetoriais. O conteúdo é “caracterização de subespaço”: para um subconjunto W de um espaço vetorial V ser subespaço, deve valer
  1. o vetor zero de V pertence a W,
  2. a soma de quaisquer dois vetores de W está em W,
  3. o produto de qualquer vetor de W por escalar está em W.

Passo 2

Analisando I: “ \{\vec v\in\mathbb{R}^9\mid A\vec v tem todas as entradas positivas}”.
– O vetor zero satisfaz A\vec 0=\vec 0, mas \vec 0 não tem entradas estritamente positivas.
– Além disso, se \vec v faz A\vec v>0, então -\vec v faz A(-\vec v)=-A\vec v<0, saindo do conjunto.
Logo, I não é subespaço.

Passo 3

Analisando II: “ \{p\in P_2\mid p(5)=6\,p(8)\}”.
Defina o funcional linear
L\colon P_2\to\mathbb{R},\quad L(p)=p(5)-6\,p(8).
Esse conjunto é \ker L. Como o núcleo de aplicação linear é sempre subespaço e L(0)=0, vale que II é subespaço.

Passo 4

Analisando III: “o conjunto-solução de sistema linear não-homogêneo A\vec x=\vec b, \vec b\neq\vec0”.
Essa solução é da forma \vec x_0+\ker A, um deslocamento afim que não contém necessariamente \vec 0 e não é fechado sob soma de duas soluções. Portanto, não é subespaço.

Resposta

(A) Apenas II é verdadeira.

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