Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto de todos
tais que todas entradas de
são positivas, onde
é uma matriz
é um subespaço vetorial.
II - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
é um subespaço vetorial.
III - O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Apenas I e II são verdadeiras.
I - O conjunto de todos
II - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
III - O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Apenas I e II são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado apresenta três conjuntos e pede para verificar quais deles são subespaços vetoriais. O conteúdo é “caracterização de subespaço”: para um subconjunto
de um espaço vetorial
ser subespaço, deve valer
- o vetor zero de
pertence a , - a soma de quaisquer dois vetores de
está em , - o produto de qualquer vetor de
por escalar está em .
Passo 2
Analisando I: “
tem todas as entradas positivas}”.
– O vetor zero satisfaz , mas
não tem entradas estritamente positivas.
– Além disso, se faz
, então
faz
, saindo do conjunto.
Logo, I não é subespaço.
– O vetor zero satisfaz
– Além disso, se
Logo, I não é subespaço.
Passo 3
Analisando II: “
”.
Defina o funcional linear
Defina o funcional linear
Esse conjunto é
. Como o núcleo de aplicação linear é sempre subespaço e
, vale que II é subespaço.
Passo 4
Analisando III: “o conjunto-solução de sistema linear não-homogêneo
,
”.
Essa solução é da forma , um deslocamento afim que não contém necessariamente
e não é fechado sob soma de duas soluções. Portanto, não é subespaço.
Essa solução é da forma
Resposta
(A) Apenas II é verdadeira.