Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\left[\begin{array}{r}10 \\\\ -11 \\\\ 1 \\\\ 16\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}3 \\\\ -3 \\\\ 0 \\\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}-1 \\\\ -3 \\\\ -3 \\\\ -2\end{array}\right]\right\} \quad \mathrm{e}
\left[\begin{array}{r}6 \\\\ -1 \\\\ 5 \\\\ 11\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ -1 \\\\ -1 \\\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 3 \\\\ 0 \\\\ -2\end{array}\right]\right\}.
Calcule o ponto ( x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} ) em que estes dois planos se interceptam. O valor da entrada x_{1} é:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) 5

Passo 1

O enunciado apresenta dois planos em \mathbb{R}^4 e pede o ponto em que eles se interceptam. Cada plano está em forma paramétrica, então vamos igualar as coordenadas para obter um sistema em quatro incógnitas a,b,c,d. Depois de resolver esse sistema, calculamos o ponto de interseção e extraímos x_1.

Passo 2

Escrevendo cada plano em coordenadas, temos
P_1:\quad \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10\\\ -11\\\ 1\\\ 16\end{pmatrix} + a\begin{pmatrix}3\\\ -3\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}-1\\\ -3\\\ -3\\\ -2\end{pmatrix},
P_2:\quad \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\\ -1\\\ 5\\\ 11\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix} + d\begin{pmatrix}-2\\\ 3\\\ 0\\\ -2\end{pmatrix}.
Para um ponto comum, existe (a,b,c,d) tal que
\begin{pmatrix} 10 + 3a - b\\\\ -11 - 3a - 3b\\\\ 1 - 3b\\\\ 16 + 2a - 2b \end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix} 6 - c - 2d\\\\ -1 - c + 3d\\\\ 5 - c\\\\ 11 + 3c - 2d \end{pmatrix}.
Isso gera as quatro equações:
10 + 3a - b = 6 - c - 2d,
-11 - 3a - 3b = -1 - c + 3d,
1 - 3b = 5 - c,
16 + 2a - 2b = 11 + 3c - 2d.

Passo 3

Da terceira equação isolamos c:
1 - 3b = 5 - c \quad\Longrightarrow\quad c = 4 + 3b.
Substituindo c=4+3b nas demais obtemos um sistema em a,b,d:
3a + 2b + 2d = -8,
a + d = -2,
2a - 11b + 2d = 7.

Passo 4

Usando a + d = -2 para eliminar d das outras duas:
d = -2 - a.
Na primeira:
3a + 2b + 2(-2 - a) = -8 \;\Longrightarrow\; a + 2b = -4.
Na terceira:
2a - 11b + 2(-2 - a) = 7 \;\Longrightarrow\; -11b - 4 = 7 \;\Longrightarrow\; b = -1.
Logo a = -4 - 2b = -4 + 2 = -2, d = -2 - a = 0 e c = 4 + 3b = 1.

Passo 5

O ponto de interseção vale
\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10\\\ -11\\\ 1\\\ 16\end{pmatrix} -2\begin{pmatrix}3\\\ -3\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix} -1\begin{pmatrix}-1\\\ -3\\\ -3\\\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\\ -2\\\ 4\\\ 14\end{pmatrix}.
Dessa forma, \,x_1 = 5.

Resposta

5 (alternativa H)

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