Q8: Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é LI, então
tem solução única.
II - Se
é LD, então
pode ter solução única.
III - Se
é LD, então
tem infinitas solução.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas III é verdadeira.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Apenas II é verdadeira.
(H) Apenas I é verdadeira.
I - Se
II - Se
III - Se
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas III é verdadeira.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Apenas II é verdadeira.
(H) Apenas I é verdadeira.
Passo 1
O enunciado define três vetores
e os sistemas
e
O que se pede é verificar a veracidade de três afirmações sobre dependência linear (LD) ou independência linear (LI) de
e o tipo de solução desses sistemas.
Passo 2
Analisando a afirmação I: “Se
é LI, então
tem solução única.”
Se é LI, então
são independentes, em particular
. Logo o sistema
Se
não tem solução (pois não dá para escrever
como combinação de
). Portanto I é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmação II: “Se
é LD, então
pode ter solução única.”
é o sistema homogêneo
. Para que um homogêneo tenha solução única (apenas trivial) é necessário que
seja LI. Se
é LD, obrigatoriamente existe solução não-trivial. Logo
nunca terá única solução; ela sempre terá infinitas soluções. Portanto II é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmação III: “Se
é LD, então
tem infinitas solução.”
Se é LD, existem várias configurações: por exemplo, pode ser que
sejam LD e
esteja fora de
. Nesse caso
Se
não tem solução. Logo não é garantido que haja infinitas soluções; pode não haver nenhuma. Portanto III é falsa.
Resposta
(D) Todas são falsas.