Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{7} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll|l} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \quad \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{ll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right] .
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.
II - Se \beta é LD, então S_{1} pode ter solução única.
III - Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas III é verdadeira.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Apenas II é verdadeira.
(H) Apenas I é verdadeira.

Passo 1

O enunciado define três vetores \vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\in\mathbb{R}^{7} e os sistemas
S_{1}:\\ \vec v_{1}x_{1}+\vec v_{2}x_{2}+\vec v_{3}x_{3}=\vec 0
e
S_{2}:\\ \vec v_{1}x_{1}+\vec v_{2}x_{2}=\vec v_{3}.
O que se pede é verificar a veracidade de três afirmações sobre dependência linear (LD) ou independência linear (LI) de \beta=\{\vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\} e o tipo de solução desses sistemas.

Passo 2

Analisando a afirmação I: “Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.”
Se \beta é LI, então \vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3} são independentes, em particular \vec v_{3}\notin\mathrm{Span}\{\vec v_{1},\vec v_{2}\}. Logo o sistema
\vec v_{1}x_{1}+\vec v_{2}x_{2}=\vec v_{3}
não tem solução (pois não dá para escrever \vec v_{3} como combinação de \vec v_{1},\vec v_{2}). Portanto I é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmação II: “Se \beta é LD, então S_{1} pode ter solução única.” S_{1} é o sistema homogêneo \vec v_{1}x_{1}+\vec v_{2}x_{2}+\vec v_{3}x_{3}=\vec 0. Para que um homogêneo tenha solução única (apenas trivial) é necessário que \{\vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\} seja LI. Se \beta é LD, obrigatoriamente existe solução não-trivial. Logo S_{1} nunca terá única solução; ela sempre terá infinitas soluções. Portanto II é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmação III: “Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.”
Se \beta é LD, existem várias configurações: por exemplo, pode ser que \vec v_{1},\vec v_{2} sejam LD e \vec v_{3} esteja fora de \mathrm{Span}\{\vec v_{1},\vec v_{2}\}. Nesse caso
\vec v_{1}x_{1}+\vec v_{2}x_{2}=\vec v_{3}
não tem solução. Logo não é garantido que haja infinitas soluções; pode não haver nenhuma. Portanto III é falsa.

Resposta

(D) Todas são falsas.

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