Q13: Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ -3 \\\\ -7 \\\\ 7\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ -1\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço gerado pelos quatro vetores em \mathbb{R}^4. Em outras palavras, queremos o número de vetores linearmente independentes entre eles. Para isso, vamos montar uma matriz cujas linhas sejam esses vetores e calcular seu posto por eliminação de Gauss.

Passo 2

Formamos a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -2\\\\ -2 & -3 & -7 & 7\\\\ 1 & 0 & 0 & 3\\\\ -1 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}
cujo i-ésimo vetor linha é o i-ésimo vetor do enunciado. O posto de A dá a dimensão do span.

Passo 3

Aplicamos as operações
R_2 \leftarrow R_2 - R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1,\quad R_4 \leftarrow R_4 + 2R_1
obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -2\\\\ 0 & -1 & -1 & 1\\\\ 0 & -3 & -2 & 3\\\\ 0 & 3 & 1 & -3 \end{pmatrix}

Passo 4

Usamos R_2 para zerar a coluna 2 em R_3 e R_4:
R_3 \leftarrow R_3 - 3R_2,\quad R_4 \leftarrow R_4 + 3R_2
ficando
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -2\\\\ 0 & -1 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}

Passo 5

Finalmente, usamos R_3 para zerar a coluna 3 em R_1,R_2,R_4:
R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3,\quad R_2 \leftarrow R_2 + R_3,\quad R_4 \leftarrow R_4 + 2R_3
e chega-se a
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & -2\\\\ 0 & -1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Há três linhas não-nulas, logo \operatorname{rank}(A)=3.

Resposta

3 (alternativa D)

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