Observação importante: cada uma das três igualdades é uma equação linear homogênea nas coordenadas x_{1},\dots,x_{10}. Conjuntos definidos por equações lineares homogêneas formam subespaços lineares de \mathbb{R}^{10}. A dimensão desse subespaço é o número de graus de liberdade (número de variáveis livres) após impor todas as restrições, ou, equivalentemente,
\dim(S)=10-\operatorname{rank}(A),
onde A é a matriz do sistema linear (ou seja, o posto das equações). Vou usar essa ideia.
Passo 3
Verifico se as três equações são independentes entre si. Escrevendo-as de forma manipulada, note que
é exatamente a combinação linear da primeira e da segunda: ela é igual a (\text{primeira}) - (\text{segunda}). Conclusão: a terceira equação é redundante (dependente das duas primeiras).
Passo 4
Agora restam apenas as duas equações independentes
x_{5}=x_{3},\qquad x_{6}=x_{4}.
Essas duas são claramente linearmente independentes porque envolvem pares distintos de coordenadas (x_{3},x_{5} e x_{4},x_{6}); não existe escalar \lambda que transforme a primeira na segunda (eles atuam em variáveis diferentes). Logo o posto do sistema é
\operatorname{rank}(A)=2.
Passo 5
Aplicando a fórmula da dimensão do espaço solução de um sistema homogêneo em \mathbb{R}^{10}:
\dim(S)=10-\operatorname{rank}(A)=10-2=8.
Uma parametrização explícita que deixa isso claro é escolher as variáveis livres \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{7},x_{8},x_{9},x_{10}\, arbitrárias, e então definir
x_{5}=x_{3},\qquad x_{6}=x_{4}.
Tem-se exatamente 8 graus de liberdade, confirmando \dim(S)=8.
Passo 6
Resumo prático para a prova: reconheça que a terceira equação é combinação das duas primeiras (portanto redundante), conte as equações lineares independentes (aqui 2) e subtraia de 10. Resultado final rápido: 10-2=8. Força aí, você consegue!