Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{10}\right) \in \mathbb{R}^{10} tais que:
\left\{\begin{aligned} x_{5} & =x_{3} \\\ x_{6} & =x_{4} \\\ x_{5}-x_{6} & =x_{3}-x_{4} \end{aligned}\right.
A dimensão de S é:
(A) 8
(B) 6
(C) 9
(D) 2
(E) 7
(F) 4
(G) 10

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S dos vetores \left(x_{1},\ldots,x_{10}\right)\in\mathbb{R}^{10} que satisfazem as três igualdades abaixo:
\left\{\begin{aligned} x_{5} &= x_{3}\\[4pt] x_{6} &= x_{4}\\[4pt] x_{5}-x_{6} &= x_{3}-x_{4} \end{aligned}\right.
A pergunta é: qual é a dimensão de S?]

Passo 2

Observação importante: cada uma das três igualdades é uma equação linear homogênea nas coordenadas x_{1},\dots,x_{10}. Conjuntos definidos por equações lineares homogêneas formam subespaços lineares de \mathbb{R}^{10}. A dimensão desse subespaço é o número de graus de liberdade (número de variáveis livres) após impor todas as restrições, ou, equivalentemente,
\dim(S)=10-\operatorname{rank}(A),
onde A é a matriz do sistema linear (ou seja, o posto das equações). Vou usar essa ideia.

Passo 3

Verifico se as três equações são independentes entre si. Escrevendo-as de forma manipulada, note que
(x_{5}-x_{3}) - (x_{6}-x_{4}) = x_{5}-x_{6}-x_{3}+x_{4} = (x_{5}-x_{6})-(x_{3}-x_{4}).
Portanto a terceira equação
x_{5}-x_{6}=x_{3}-x_{4}
é exatamente a combinação linear da primeira e da segunda: ela é igual a (\text{primeira}) - (\text{segunda}). Conclusão: a terceira equação é redundante (dependente das duas primeiras).

Passo 4

Agora restam apenas as duas equações independentes
x_{5}=x_{3},\qquad x_{6}=x_{4}.
Essas duas são claramente linearmente independentes porque envolvem pares distintos de coordenadas ( x_{3},x_{5} e x_{4},x_{6}); não existe escalar \lambda que transforme a primeira na segunda (eles atuam em variáveis diferentes). Logo o posto do sistema é
\operatorname{rank}(A)=2.

Passo 5

Aplicando a fórmula da dimensão do espaço solução de um sistema homogêneo em \mathbb{R}^{10}:
\dim(S)=10-\operatorname{rank}(A)=10-2=8.
Uma parametrização explícita que deixa isso claro é escolher as variáveis livres
\,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{7},x_{8},x_{9},x_{10}\, arbitrárias, e então definir
x_{5}=x_{3},\qquad x_{6}=x_{4}.
Tem-se exatamente 8 graus de liberdade, confirmando \dim(S)=8.

Passo 6

Resumo prático para a prova: reconheça que a terceira equação é combinação das duas primeiras (portanto redundante), conte as equações lineares independentes (aqui 2) e subtraia de 10. Resultado final rápido: 10-2=8. Força aí, você consegue!

Resposta

(A) 8

Exercícios relacionados