Q9: Suponha que numa certa cidade apenas chove, ou faz sol. Suponha também que se faz sol em um dia, há 20 \% de chance de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosos se sucedem com a probabilidade de 90 \%. Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?
(A) 11.1 \%
(B) 12.1 \%
(C) 13.1 \%
(D) 14.1 \%

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a probabilidade, aproximadamente, de que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia seja ensolarado. As informações dadas são:
\text{Se faz sol num dia, a probabilidade de sol no dia seguinte é }20\% .é
\text{Se chove num dia, a probabilidade de chuva no dia seguinte é }90\% .é
Não foi dada a condição inicial explícita (ou seja, não foi informado se hoje é sol ou chuva). O enunciado pede uma probabilidade aproximada para um dia muito distante no futuro (20 anos).

Passo 2

Vamos modelar o problema com dois estados: \text{S} = “ensolarado” e \text{R} = “chuvoso”. As probabilidades de transição dadas são:
P(\text{S}\to\text{S})=0{,}20,\quad P(\text{S}\to\text{R})=0{,}80,
P(\text{R}\to\text{R})=0{,}90,\quad P(\text{R}\to\text{S})=0{,}10.
Organizando numa matriz de transição P (linhas = estado atual, colunas = estado seguinte, ordem de estados \text{S},\text{R}):
P=\begin{pmatrix} 0{,}20 & 0{,}80\\[4pt] 0{,}10 & 0{,}90 \end{pmatrix}.
Explicação do que a matriz faz: se \pi^{(n)}=(p_n(\text{S}),\,p_n(\text{R})) é a distribuição no dia n, então
\pi^{(n+1)}=\pi^{(n)}P.]

Passo 3

Quando perguntam a probabilidade muito no futuro (20 anos), é comum aproximar pela distribuição estacionária (ou invariante) \pi que satisfaz
\pi=\pi P
e
\pi(\text{S})+\pi(\text{R})=1.
Intuição do que é \pi: é uma distribuição que, se alcançada, permanece igual após aplicar uma transição; para cadeias que são irreducíveis e aperiódicas essa distribuição é a do regime estacionário e as distribuições de \pi^{(n)} convergem para \pi quando n\to\infty. Aqui a cadeia tem auto-transições positivas ( 0{,}20 e 0{,}90), então ela é aperiódica e irreducível — logo existe única distribuição estacionária e a cadeia converge rapidamente para ela.

Passo 4

Vamos resolver \pi=\pi P. Escrevendo \pi=(\pi_S,\pi_R) com \pi_R=1-\pi_S, a equação para a componente \text{S} é
\pi_S=\pi_S\cdot 0{,}20+\pi_R\cdot 0{,}10.
Substituindo \pi_R=1-\pi_S:
\pi_S=0{,}20\,\pi_S+0{,}10\,(1-\pi_S).
Desenvolvendo e isolando \pi_S:
\pi_S=0{,}20\pi_S+0{,}10-0{,}10\pi_S
\pi_S=(0{,}20-0{,}10)\pi_S+0{,}10
\pi_S=0{,}10\pi_S+0{,}10
\pi_S-0{,}10\pi_S=0{,}10
0{,}90\pi_S=0{,}10
\pi_S=\dfrac{0{,}10}{0{,}90}=\dfrac{1}{9}\approx 0{,}111\ldots
Em porcentagem,
\pi_S\approx 11{,}11\%.

Passo 5

Por que podemos usar esse valor para “daqui a 20 anos”? Porque a convergência para \pi é exponencial na diferença com o estado inicial; para esta matriz de transição os autovalores são 1 e
\lambda_2=0{,}20+0{,}90-1=0{,}10,
ou seja, a componente da diferença decai como (0{,}10)^n após n dias. Isso é extremamente rápido: já alguns dias bastam para a influência da condição inicial desaparecer. Vinte anos são cerca de 20\times 365 dias (muito maior que alguns dias), então a distribuição estará essencialmente em equilíbrio estacionário. Assim a probabilidade aproximada pedida é \pi_S\approx 11{,}11\%.

Resposta

(A) 11{,}1\%

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