Q9: Suponha que numa certa cidade apenas chove, ou faz sol. Suponha também que se faz sol em um dia, há
de chance de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosos se sucedem com a probabilidade de
. Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a probabilidade, aproximadamente, de que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia seja ensolarado. As informações dadas são:
Não foi dada a condição inicial explícita (ou seja, não foi informado se hoje é sol ou chuva). O enunciado pede uma probabilidade aproximada para um dia muito distante no futuro (20 anos).
Passo 2
Vamos modelar o problema com dois estados:
= “ensolarado” e
= “chuvoso”. As probabilidades de transição dadas são:
Organizando numa matriz de transição
(linhas = estado atual, colunas = estado seguinte, ordem de estados
):
Explicação do que a matriz faz: se
é a distribuição no dia
, então
Passo 3
Quando perguntam a probabilidade muito no futuro (20 anos), é comum aproximar pela distribuição estacionária (ou invariante)
que satisfaz
e
Intuição do que é
: é uma distribuição que, se alcançada, permanece igual após aplicar uma transição; para cadeias que são irreducíveis e aperiódicas essa distribuição é a do regime estacionário e as distribuições de
convergem para
quando
. Aqui a cadeia tem auto-transições positivas (
e
), então ela é aperiódica e irreducível — logo existe única distribuição estacionária e a cadeia converge rapidamente para ela.
Passo 4
Vamos resolver
. Escrevendo
com
, a equação para a componente
é
Substituindo
:
Desenvolvendo e isolando
:
Em porcentagem,
Passo 5
Por que podemos usar esse valor para “daqui a 20 anos”? Porque a convergência para
é exponencial na diferença com o estado inicial; para esta matriz de transição os autovalores são
e
ou seja, a componente da diferença decai como
após
dias. Isso é extremamente rápido: já alguns dias bastam para a influência da condição inicial desaparecer. Vinte anos são cerca de
dias (muito maior que alguns dias), então a distribuição estará essencialmente em equilíbrio estacionário. Assim a probabilidade aproximada pedida é
.
Resposta
(A)