Q7: Considere as afirmativas abaixo:
I - Os autovalores de
podem ser diferentes dos de
.
II - Sejam
uma matriz invertível,
um autovalor de
e
o respectivo autoespaço. Então
é autovalor de
, mas o autoespaço associado pode ser diferente de
.
I - Os autovalores de
II - Sejam
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmações e pede que a gente decida se são verdadeiras ou falsas:
I - “Os autovalores de podem ser diferentes dos de
.”\n
II - “Seja uma matriz invertível,
um autovalor de
e
o respectivo autoespaço. Então
é autovalor de
, mas o autoespaço associado pode ser diferente de
.”\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: temos uma matriz (assumimos quadrada, já que se fala em autovalores) e consideram-se
e
. O enunciado pergunta sobre a veracidade das duas frases.
I - “Os autovalores de
II - “Seja
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: temos uma matriz
Passo 2
Vamos lembrar definições básicas (sem pular etapas):
Definição de autovalor e autovetor: dizemos que é um autovalor de uma matriz quadrada
se existe um vetor não-nulo
tal que
Definição de autovalor e autovetor: dizemos que
Esse vetor
chama-se autovetor associado a
. O conjunto de todos os autovetores associados a
, junto com o vetor zero, é o autoespaço (ou espaço próprio) associado a
; denotamos por
Também é útil lembrar que os autovalores são raízes do polinômio característico de
, definido por
onde
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
.
Passo 3
Analisando a afirmação I (sobre
e
). Vou provar que os autovalores de
são exatamente os autovalores de
, ou seja, não podem ser diferentes.
Propriedade usada: para qualquer matriz quadrada , vale
. Agora compare os polinômios característicos:
Propriedade usada: para qualquer matriz quadrada
Note que
porque
. Usando
obtemos
Como os polinômios característicos coincidem, as raízes desses polinômios são as mesmas, portanto os autovalores (com suas multiplicidades algébricas) de
são exatamente os autovalores de
. Conclusão: a afirmação I é falsa.
Passo 4
Explico de forma didática o que fizemos no passo anterior e por que isso responde a I: o autovalor é definido por
. Se
para todo
, então o conjunto de soluções
coincide com
. Isso significa que não existe autovalor de
que não seja autovalor de
, e vice‑versa. Um jeito intuitivo de lembrar: transpor a matriz não altera o determinante nem o polinômio característico.
Passo 5
Agora analisando a afirmação II (sobre
e o autoespaço). Começo pelo fato positivo que a frase também contém: se
é invertível e
com
, então
também é autovetor de
associado a
. Vou demonstrar passo a passo:
Partimos de . Como
é invertível, aplicamos
aos dois lados:
Partimos de
O lado esquerdo é
. No direito, como
é escalar, sai da multiplicação matricial:
Reorganizando, temos
desde que
. (Se
então
não poderia ser invertível porque
seria autovalor; então o caso
está excluído pelo enunciado que assume
invertível.) Assim, cada autovetor
de
para
é também autovetor de
para
. Portanto todo vetor em
pertence ao autoespaço de
relativo a
.
Passo 6
Mostro a implicação contrária (para concluir que os autoespaços coincidem): se
com
, multiplica-se por
e obtém-se
ou seja
Logo
é autovetor de
associado a
. Assim os vetores que satisfazem
são exatamente os que satisfazem
. Conclusão: o autoespaço de
relativo a
coincide com o autoespaço de
relativo a
. Portanto a segunda parte da frase II — que diz que "o autoespaço associado pode ser diferente de
" — é falsa.
Passo 7
Comentário final de reforço (rápido e prático):\n
- Para qualquer matriz quadrada
, os autovalores de e coincidem porque .\n - Para
invertível, a passagem para inverte os autovalores: se é autovalor de então é autovalor de , e os respectivos autoespaços são os mesmos. Portanto a parte afirmativa de II está correta (a inversão dos valores), mas a conclusão sobre o autoespaço ser possivelmente diferente está errada.
Resposta
I — Falsa\n
II — Falsa
II — Falsa