Q7: Considere as afirmativas abaixo:
I - Os autovalores de A^{T} podem ser diferentes dos de A.
II - Sejam A uma matriz invertível, \lambda um autovalor de A e H o respectivo autoespaço. Então \lambda^{-1} é autovalor de A^{-1}, mas o autoespaço associado pode ser diferente de H.

Passo 1

O enunciado apresenta duas afirmações e pede que a gente decida se são verdadeiras ou falsas:
I - “Os autovalores de A^{T} podem ser diferentes dos de A.”\n
II - “Seja A uma matriz invertível, \lambda um autovalor de A e H o respectivo autoespaço. Então \lambda^{-1} é autovalor de A^{-1}, mas o autoespaço associado pode ser diferente de H.”\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: temos uma matriz A (assumimos quadrada, já que se fala em autovalores) e consideram-se A^{T} e A^{-1}. O enunciado pergunta sobre a veracidade das duas frases.

Passo 2

Vamos lembrar definições básicas (sem pular etapas):
Definição de autovalor e autovetor: dizemos que \lambda é um autovalor de uma matriz quadrada A se existe um vetor não-nulo v tal que
A v = \lambda v.
Esse vetor v chama-se autovetor associado a \lambda. O conjunto de todos os autovetores associados a \lambda, junto com o vetor zero, é o autoespaço (ou espaço próprio) associado a \lambda; denotamos por
H = \{\,v \mid A v = \lambda v\,\}.
Também é útil lembrar que os autovalores são raízes do polinômio característico de A, definido por
\chi_{A}(\lambda)=\det(A-\lambda I),
onde I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A.

Passo 3

Analisando a afirmação I (sobre A^{T} e A). Vou provar que os autovalores de A^{T} são exatamente os autovalores de A, ou seja, não podem ser diferentes.
Propriedade usada: para qualquer matriz quadrada M, vale \det(M^{T})=\det(M). Agora compare os polinômios característicos:
\chi_{A^{T}}(\lambda)=\det(A^{T}-\lambda I).
Note que A^{T}-\lambda I=(A-\lambda I)^{T} porque I^{T}=I. Usando \det(M^{T})=\det(M) obtemos
\chi_{A^{T}}(\lambda)=\det\big((A-\lambda I)^{T}\big)=\det(A-\lambda I)=\chi_{A}(\lambda).
Como os polinômios característicos coincidem, as raízes desses polinômios são as mesmas, portanto os autovalores (com suas multiplicidades algébricas) de A^{T} são exatamente os autovalores de A. Conclusão: a afirmação I é falsa.

Passo 4

Explico de forma didática o que fizemos no passo anterior e por que isso responde a I: o autovalor é definido por \chi_{A}(\lambda)=0. Se \chi_{A^{T}}(\lambda)=\chi_{A}(\lambda) para todo \lambda, então o conjunto de soluções \{\lambda \mid \chi_{A^{T}}(\lambda)=0\} coincide com \{\lambda \mid \chi_{A}(\lambda)=0\}. Isso significa que não existe autovalor de A^{T} que não seja autovalor de A, e vice‑versa. Um jeito intuitivo de lembrar: transpor a matriz não altera o determinante nem o polinômio característico.

Passo 5

Agora analisando a afirmação II (sobre A^{-1} e o autoespaço). Começo pelo fato positivo que a frase também contém: se A é invertível e Av=\lambda v com v\neq 0, então v também é autovetor de A^{-1} associado a \lambda^{-1}. Vou demonstrar passo a passo:
Partimos de A v = \lambda v. Como A é invertível, aplicamos A^{-1} aos dois lados:
A^{-1} A v = A^{-1} (\lambda v).
O lado esquerdo é v. No direito, como \lambda é escalar, sai da multiplicação matricial:
v = \lambda (A^{-1} v).
Reorganizando, temos
A^{-1} v = \lambda^{-1} v,
desde que \lambda\neq 0. (Se \lambda=0 então A não poderia ser invertível porque 0 seria autovalor; então o caso \lambda=0 está excluído pelo enunciado que assume A invertível.) Assim, cada autovetor v de A para \lambda é também autovetor de A^{-1} para \lambda^{-1}. Portanto todo vetor em H pertence ao autoespaço de A^{-1} relativo a \lambda^{-1}.

Passo 6

Mostro a implicação contrária (para concluir que os autoespaços coincidem): se A^{-1}w=\lambda^{-1}w com w\neq 0, multiplica-se por A e obtém-se
w = \lambda (A w),
ou seja
A w = \lambda w.
Logo w é autovetor de A associado a \lambda. Assim os vetores que satisfazem A v=\lambda v são exatamente os que satisfazem A^{-1}v=\lambda^{-1}v. Conclusão: o autoespaço de A relativo a \lambda coincide com o autoespaço de A^{-1} relativo a \lambda^{-1}. Portanto a segunda parte da frase II — que diz que "o autoespaço associado pode ser diferente de H" — é falsa.

Passo 7

Comentário final de reforço (rápido e prático):\n
  • Para qualquer matriz quadrada A, os autovalores de A e A^{T} coincidem porque \chi_{A^{T}}=\chi_{A}.\n
  • Para A invertível, a passagem para A^{-1} inverte os autovalores: se \lambda é autovalor de A então \lambda^{-1} é autovalor de A^{-1}, e os respectivos autoespaços são os mesmos. Portanto a parte afirmativa de II está correta (a inversão dos valores), mas a conclusão sobre o autoespaço ser possivelmente diferente está errada.

Resposta

I — Falsa\n
II — Falsa

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