Q11: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Só II e III são verdadeiras.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Só I e II são verdadeiras.
(H) Só III é verdadeira.
I. O conjunto de todos os polinómios de grau máximo 2 tais que p(5)=6 p(7) é um subespaço vetorial.
II. O conjunto-solução de um sistema linear homogèneo é um subespaço vetorial.
III. O conjunto de todos \vec{v} \in \mathbb{R}^{8} tais que A \vec{v}=0, onde A é uma matriz 9 \times 8 é um subespaço vetorial.

Passo 1

Vou reescrever claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • O enunciado fornece três afirmações sobre conjuntos e quer identificar qual alternativa (A)–(H) corresponde às afirmações verdadeiras.
  • As afirmações são:
    I. O conjunto de todos os polinómios de grau máximo 2 tais que p(5)=6\,p(7) é um subespaço vetorial.
    II. O conjunto-solução de um sistema linear homogéneo é um subespaço vetorial.
    III. O conjunto de todos \vec{v}\in\mathbb{R}^{8} tais que A\vec{v}=0, onde A é uma matriz 9\times 8, é um subespaço vetorial.
  • O objetivo final: decidir quais das afirmações I, II, III são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre (A)–(H).

Passo 2

Relembrando (didaticamente) o que significa “ser um subespaço vetorial” e um critério simples para verificar isso.
  • Definição prática: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se:
    1. W não é vazio (ou, equivalente, contém o vetor zero);
    2. é fechado sob soma: se u\in W e v\in W, então u+v\in W;
    3. é fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e \alpha\in\mathbb{R}, então \alpha u\in W.
  • Observação útil (muito comum em provas): se um conjunto é o núcleo (kernel) de uma aplicação linear T:V\to U, ou seja \ker T=\{v\in V\mid T(v)=0\}, então automaticamente \ker T é subespaço. Porque T(0)=0 (então zero está no kernel) e T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v) garante fechamento por soma e escalares.
Vou usar essas ideias: mostrar que cada conjunto é núcleo de alguma aplicação linear, ou checar fechamento direto.

Passo 3

Análise da afirmação I.
  • Primeiro, defino o espaço ambiente: seja P_2 o conjunto de todos os polinómios com grau menor ou igual a 2. Esse P_2 é um espaço vetorial (adição e multiplicação por escalares entre polinómios mantém grau ≤2).
  • O conjunto dado é S=\{\,p\in P_2 \mid p(5)=6\,p(7)\,\}.
  • Verificação por kernel: defina a aplicação linear L:P_2\to\mathbb{R} por L(p)=p(5)-6\,p(7).Explicando devagar: para cada polinómio p aplica-se p em 5 e em 7, faz-se p(5)-6p(7) e obtém-se um número real. Isso é uma aplicação linear porque, para quaisquer polinómios p,q e escalares \alpha,\beta, L(\alpha p+\beta q)=(\alpha p+\beta q)(5)-6(\alpha p+\beta q)(7)=\alpha\big(p(5)-6p(7)\big)+\beta\big(q(5)-6q(7)\big),ou seja, L(\alpha p+\beta q)=\alpha L(p)+\beta L(q).
  • O conjunto S é exatamente o kernel de L: S=\ker L=\{p\in P_2\mid L(p)=0\}.
  • Como kernel de uma aplicação linear, S é subespaço de P_2. Alternativamente, pode-se checar diretamente que 0 (o polinómio nulo) pertence a S e que S é fechado por soma e escalas devido à linearidade da condição.
  • Conclusão: a afirmação I é verdadeira.
Observação pedagógica (útil na prova): se a condição tivesse sido p(5)=6p(7)+1, aí não seria subespaço porque não seria homogénea (o polinómio zero não satisfaria). A presença do termo constante quebraria a linearidade. Aqui, como é igualdade homogénea = zero do funcional p(5)-6p(7), funciona.

Passo 4

Análise da afirmação II.
  • Um sistema linear homogéneo tem forma A\vec{x}=\vec{0}, onde A é matriz (qualquer dimensão compatível) e \vec{x} é vetor incógnita.
  • Defina S=\{\vec{x}\mid A\vec{x}=\vec{0}\}. Isso é exatamente o kernel da aplicação linear T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m dada por T(\vec{x})=A\vec{x}.
  • Verificação direta, passo a passo:
    1. O vetor zero satisfaz A\vec{0}=\vec{0}, então \vec{0}\in S.
    2. Se A\vec{u}=\vec{0} e A\vec{v}=\vec{0} então A(\vec{u}+\vec{v})=A\vec{u}+A\vec{v}=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}, então \vec{u}+\vec{v}\in S.
    3. Se A\vec{u}=\vec{0} e \alpha\in\mathbb{R} então A(\alpha\vec{u})=\alpha A\vec{u}=\alpha\vec{0}=\vec{0}, logo \alpha\vec{u}\in S.
  • Esses três itens mostram que S satisfaz os critérios de subespaço.
  • Conclusão: a afirmação II é verdadeira.

Passo 5

Análise da afirmação III.
  • A afirmação III é um caso concreto do item II: é o conjunto de todos \vec{v}\in\mathbb{R}^8 tais que A\vec{v}=\vec{0}, com A sendo uma matriz 9\times 8.
  • Isto é novamente o kernel da aplicação linear T:\mathbb{R}^8\to\mathbb{R}^9 dada por T(\vec{v})=A\vec{v}.
  • Pelo mesmo argumento do passo anterior, o kernel é subespaço: contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalares.
  • Observação adicional (opcional para entendimento): mesmo que o sistema tenha apenas a solução trivial \vec{v}=\vec{0} ou um espaço de soluções de dimensão maior, em qualquer caso o conjunto de soluções é um subespaço (pode ser o subespaço nulo ou um subespaço não trivial).
  • Conclusão: a afirmação III é verdadeira.

Passo 6

Conclusão das três análises e escolha da alternativa.
  • Determinamos que I é verdadeira, II é verdadeira e III é verdadeira.
  • Portanto todas as três afirmações são verdadeiras.

Resposta

(E)

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