Q11: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Só II e III são verdadeiras.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Só I e II são verdadeiras.
(H) Só III é verdadeira.
I. O conjunto de todos os polinómios de grau máximo 2 tais que
é um subespaço vetorial.
II. O conjunto-solução de um sistema linear homogèneo é um subespaço vetorial.
III. O conjunto de todos
tais que
, onde
é uma matriz
é um subespaço vetorial.
(A) Só II e III são verdadeiras.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Só I e II são verdadeiras.
(H) Só III é verdadeira.
I. O conjunto de todos os polinómios de grau máximo 2 tais que
II. O conjunto-solução de um sistema linear homogèneo é um subespaço vetorial.
III. O conjunto de todos
Passo 1
Vou reescrever claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
-
O enunciado fornece três afirmações sobre conjuntos e quer identificar qual alternativa (A)–(H) corresponde às afirmações verdadeiras.
-
As afirmações são:
I. O conjunto de todos os polinómios de grau máximo 2 tais queé um subespaço vetorial.
II. O conjunto-solução de um sistema linear homogéneo é um subespaço vetorial.
III. O conjunto de todostais que , onde é uma matriz , é um subespaço vetorial. -
O objetivo final: decidir quais das afirmações I, II, III são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre (A)–(H).
Passo 2
Relembrando (didaticamente) o que significa “ser um subespaço vetorial” e um critério simples para verificar isso.
-
Definição prática: um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço se: -
não é vazio (ou, equivalente, contém o vetor zero); - é fechado sob soma: se
e , então ; - é fechado sob multiplicação escalar: se
e , então .
-
-
Observação útil (muito comum em provas): se um conjunto é o núcleo (kernel) de uma aplicação linear
, ou seja , então automaticamente é subespaço. Porque (então zero está no kernel) e garante fechamento por soma e escalares.
Vou usar essas ideias: mostrar que cada conjunto é núcleo de alguma aplicação linear, ou checar fechamento direto.
Passo 3
Análise da afirmação I.
- Primeiro, defino o espaço ambiente: seja
o conjunto de todos os polinómios com grau menor ou igual a . Esse é um espaço vetorial (adição e multiplicação por escalares entre polinómios mantém grau ≤2). - O conjunto dado é
- Verificação por kernel: defina a aplicação linear
por Explicando devagar: para cada polinómio aplica-se em e em , faz-se e obtém-se um número real. Isso é uma aplicação linear porque, para quaisquer polinómios e escalares , ou seja, - O conjunto
é exatamente o kernel de : - Como kernel de uma aplicação linear,
é subespaço de . Alternativamente, pode-se checar diretamente que (o polinómio nulo) pertence a e que é fechado por soma e escalas devido à linearidade da condição. - Conclusão: a afirmação I é verdadeira.
Observação pedagógica (útil na prova): se a condição tivesse sido
, aí não seria subespaço porque não seria homogénea (o polinómio zero não satisfaria). A presença do termo constante quebraria a linearidade. Aqui, como é igualdade homogénea
zero do funcional
, funciona.
Passo 4
Análise da afirmação II.
- Um sistema linear homogéneo tem forma
, onde é matriz (qualquer dimensão compatível) e é vetor incógnita. - Defina
. Isso é exatamente o kernel da aplicação linear dada por . - Verificação direta, passo a passo:
- O vetor zero satisfaz
, então . - Se
e então , então . - Se
e então , logo .
- O vetor zero satisfaz
- Esses três itens mostram que
satisfaz os critérios de subespaço. - Conclusão: a afirmação II é verdadeira.
Passo 5
Análise da afirmação III.
- A afirmação III é um caso concreto do item II: é o conjunto de todos
tais que , com sendo uma matriz . - Isto é novamente o kernel da aplicação linear
dada por . - Pelo mesmo argumento do passo anterior, o kernel é subespaço: contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalares.
- Observação adicional (opcional para entendimento): mesmo que o sistema tenha apenas a solução trivial
ou um espaço de soluções de dimensão maior, em qualquer caso o conjunto de soluções é um subespaço (pode ser o subespaço nulo ou um subespaço não trivial). - Conclusão: a afirmação III é verdadeira.
Passo 6
Conclusão das três análises e escolha da alternativa.
- Determinamos que I é verdadeira, II é verdadeira e III é verdadeira.
- Portanto todas as três afirmações são verdadeiras.
Resposta
(E)