Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\left[\begin{array}{r}5 \\\\ 2 \\\\ -7 \\\\ 1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 3 \\\\ 0 \\\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}3 \\\\ -3 \\\\ -1 \\\\ 1\end{array}\right]\right\} \in
\left[\begin{array}{r}13 \\\\ 2 \\\\ -16 \\\\ 0\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}3 \\\\ 2 \\\\ -3 \\\\ 3\end{array}\right]\right\}.
Calcule o ponto ( x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} ) em que estes dois planos se interceptam. (Observaçāo: em \mathrm{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
(E) 9
(F) 10
(G) 11
(H) 12

Passo 1

Vou descrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dois planos afins em \mathbb{R}^{4} são dados por
P_1=\left[\begin{array}{r}5 \\[2pt] 2 \\[2pt] -7 \\[2pt] 1\end{array}\right] +\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\[2pt] 3 \\[2pt] 0 \\[2pt] 2\end{array}\right], \left[\begin{array}{r}3 \\[2pt] -3 \\[2pt] -1 \\[2pt] 1\end{array}\right]\right\},
P_2=\left[\begin{array}{r}13 \\[2pt] 2 \\[2pt] -16 \\[2pt] 0\end{array}\right] +\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\[2pt] -1 \\[2pt] 1 \\[2pt] 3\end{array}\right], \left[\begin{array}{r}3 \\[2pt] 2 \\[2pt] -3 \\[2pt] 3\end{array}\right]\right\}.
  • O enunciado pede o ponto de interseção (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) desses dois planos, e especificamente queremos o valor da entrada x_{1}.
  • Informação útil já anotada (retirada do enunciado): os pontos-base e os vetores geradores aparecem explicitamente acima.]

Passo 2

Estratégia de resolução (curta e direta): representar um ponto genérico em cada plano por combinações lineares com parâmetros e igualar as duas representações, obtendo um sistema linear em parâmetros. Depois resolver esse sistema e substituir para obter o ponto de interseção.
  • Em P_1 um ponto genérico é
p_1 + a u + b v
onde
p_1=\left[\begin{array}{r}5 \\[2pt] 2 \\[2pt] -7 \\[2pt] 1\end{array}\right], \quad u=\left[\begin{array}{r}1 \\[2pt] 3 \\[2pt] 0 \\[2pt] 2\end{array}\right], \quad v=\left[\begin{array}{r}3 \\[2pt] -3 \\[2pt] -1 \\[2pt] 1\end{array}\right],
e a,b\in\mathbb{R}.
  • Em P_2 um ponto genérico é
p_2 + c w + d z
onde
p_2=\left[\begin{array}{r}13 \\[2pt] 2 \\[2pt] -16 \\[2pt] 0\end{array}\right], \quad w=\left[\begin{array}{r}0 \\[2pt] -1 \\[2pt] 1 \\[2pt] 3\end{array}\right], \quad z=\left[\begin{array}{r}3 \\[2pt] 2 \\[2pt] -3 \\[2pt] 3\end{array}\right],
e c,d\in\mathbb{R}.
Queremos a,b,c,d tais que
p_1 + a u + b v = p_2 + c w + d z.]

Passo 3

Escrevendo a igualdade componente a componente obteremos um sistema de quatro equações lineares em a,b,c,d.
As componentes dão:
\begin{cases} 5 + a + 3b = 13 + 0\cdot c + 3d,\\[4pt] 2 + 3a -3b = 2 - c + 2d,\\[4pt] -7 + 0\cdot a - b = -16 + c -3d,\\[4pt] 1 + 2a + b = 0 + 3c + 3d. \end{cases}]

Passo 4

Vamos rearranjar cada equação para obter um sistema na forma padrão (coeficientes de a,b,c,d).
Subtraindo termos e organizando, obtemos:
\begin{cases} a + 3b - 3d = 8,\\[4pt] 3a -3b + c -2d = 0,\\[4pt] -b - c +3d = -9,\\[4pt] 2a + b -3c -3d = -1. \end{cases}]

Passo 5

Resolveremos o sistema por substituição/eliminação de forma didática.
Da primeira equação isolamos a:
a = 8 - 3b + 3d.
Substituímos essa expressão em (segunda) para obter c em função de b,d. Na segunda equação:
3a -3b + c -2d = 0.
Substituindo a:
3(8 - 3b + 3d) -3b + c -2d = 0.
Calculemos passo a passo:
24 -9b +9d -3b + c -2d = 0,
24 -12b +7d + c = 0,
logo
c = -24 +12b -7d.

Passo 6

Agora use a terceira equação para relacionar b e d. A terceira equação é
-b - c +3d = -9.
Substituindo c obtido:
-b -(-24 +12b -7d) +3d = -9.
Simplificando:
-b +24 -12b +7d +3d = -9,
24 -13b +10d = -9,
13b -10d = 33.
Esta é a primeira equação linear em b,d.

Passo 7

Usamos a quarta equação para obter mais uma relação entre b e d. A quarta equação é
2a + b -3c -3d = -1.
Substituímos a = 8 -3b +3d e c = -24 +12b -7d.
Calcule 2a + b:
2a + b = 2(8 -3b +3d) + b = 16 -6b +6d + b = 16 -5b +6d.
Calcule -3c:
-3c = -3(-24 +12b -7d) = 72 -36b +21d.
Somando e incluindo -3d:
(16 -5b +6d) + (72 -36b +21d) -3d = 88 -41b +24d.
Igualando a -1 temos:
88 -41b +24d = -1,
41b -24d = 89.
Esta é a segunda equação linear em b,d.

Passo 8

Temos agora o sistema em b,d\): \[\begin{cases} 13b -10d = 33,\\[4pt] 41b -24d = 89. \end{cases}
Resolvendo: da primeira isolamos d\]: \[d = \dfrac{13b -33}{10}.\] Substituindo na segunda: \[41b -24\left(\dfrac{13b -33}{10}\right) = 89.\] Multiplicando por \(10:
410b -24(13b -33) = 890.
Calculando:
410b -312b +792 = 890,
98b +792 = 890,
98b = 98,
b = 1.
Agora d = \dfrac{13\cdot 1 -33}{10} = \dfrac{-20}{10} = -2.]

Passo 9

Com b=1 e d=-2 encontramos a e c pelas fórmulas anteriores.
  • Lembremos a = 8 -3b +3d. Substituindo:
a = 8 -3\cdot 1 +3\cdot(-2) = 8 -3 -6 = -1.
  • Lembremos c = -24 +12b -7d. Substituindo:
c = -24 +12\cdot 1 -7\cdot(-2) = -24 +12 +14 = 2.

Passo 10

Agora obtemos o ponto de interseção substituindo em p_1 + a u + b v.
Calculemos componente a componente:
  • Primeira componente:
x_{1} = 5 + a\cdot 1 + b\cdot 3 = 5 + (-1)\cdot 1 + 1\cdot 3 = 5 -1 +3 = 7.
  • Segunda componente:
x_{2} = 2 + a\cdot 3 + b\cdot(-3) = 2 + (-1)\cdot 3 + 1\cdot(-3) = 2 -3 -3 = -4.
  • Terceira componente:
x_{3} = -7 + a\cdot 0 + b\cdot(-1) = -7 + 0 -1 = -8.
  • Quarta componente:
x_{4} = 1 + a\cdot 2 + b\cdot 1 = 1 + (-1)\cdot 2 + 1\cdot 1 = 1 -2 +1 = 0.
Assim o ponto de interseção é
(7, -4, -8, 0).

Resposta

(C) 7

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