O enunciado pede o ponto de interseção (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) desses dois planos, e especificamente queremos o valor da entrada x_{1}.
Informação útil já anotada (retirada do enunciado): os pontos-base e os vetores geradores aparecem explicitamente acima.]
Passo 2
Estratégia de resolução (curta e direta): representar um ponto genérico em cada plano por combinações lineares com parâmetros e igualar as duas representações, obtendo um sistema linear em parâmetros. Depois resolver esse sistema e substituir para obter o ponto de interseção.
Escrevendo a igualdade componente a componente obteremos um sistema de quatro equações lineares em a,b,c,d.
As componentes dão:
\begin{cases} 5 + a + 3b = 13 + 0\cdot c + 3d,\\[4pt] 2 + 3a -3b = 2 - c + 2d,\\[4pt] -7 + 0\cdot a - b = -16 + c -3d,\\[4pt] 1 + 2a + b = 0 + 3c + 3d. \end{cases}]
Passo 4
Vamos rearranjar cada equação para obter um sistema na forma padrão (coeficientes de a,b,c,d).
Subtraindo termos e organizando, obtemos:
\begin{cases} a + 3b - 3d = 8,\\[4pt] 3a -3b + c -2d = 0,\\[4pt] -b - c +3d = -9,\\[4pt] 2a + b -3c -3d = -1. \end{cases}]
Passo 5
Resolveremos o sistema por substituição/eliminação de forma didática.
Da primeira equação isolamos a:
a = 8 - 3b + 3d.
Substituímos essa expressão em (segunda) para obter c em função de b,d. Na segunda equação:
3a -3b + c -2d = 0.
Substituindo a:
3(8 - 3b + 3d) -3b + c -2d = 0.
Calculemos passo a passo:
24 -9b +9d -3b + c -2d = 0,
24 -12b +7d + c = 0,
logo
c = -24 +12b -7d.
Passo 6
Agora use a terceira equação para relacionar b e d. A terceira equação é
-b - c +3d = -9.
Substituindo c obtido:
-b -(-24 +12b -7d) +3d = -9.
Simplificando:
-b +24 -12b +7d +3d = -9,
24 -13b +10d = -9,
13b -10d = 33.
Esta é a primeira equação linear em b,d.
Passo 7
Usamos a quarta equação para obter mais uma relação entre b e d. A quarta equação é
2a + b -3c -3d = -1.
Substituímos a = 8 -3b +3d e c = -24 +12b -7d.
Calcule 2a + b:
2a + b = 2(8 -3b +3d) + b = 16 -6b +6d + b = 16 -5b +6d.
Calcule -3c:
-3c = -3(-24 +12b -7d) = 72 -36b +21d.
Somando e incluindo -3d:
(16 -5b +6d) + (72 -36b +21d) -3d = 88 -41b +24d.
Igualando a -1 temos:
88 -41b +24d = -1,
41b -24d = 89.
Esta é a segunda equação linear em b,d.
Passo 8
Temos agora o sistema em b,d\):
\[\begin{cases} 13b -10d = 33,\\[4pt] 41b -24d = 89. \end{cases}
Resolvendo: da primeira isolamos d\]:
\[d = \dfrac{13b -33}{10}.\]
Substituindo na segunda:
\[41b -24\left(\dfrac{13b -33}{10}\right) = 89.\]
Multiplicando por \(10:
410b -24(13b -33) = 890.
Calculando:
410b -312b +792 = 890,
98b +792 = 890,
98b = 98,
b = 1.
Agora d = \dfrac{13\cdot 1 -33}{10} = \dfrac{-20}{10} = -2.]
Passo 9
Com b=1 e d=-2 encontramos a e c pelas fórmulas anteriores.
Lembremos a = 8 -3b +3d. Substituindo:
a = 8 -3\cdot 1 +3\cdot(-2) = 8 -3 -6 = -1.
Lembremos c = -24 +12b -7d. Substituindo:
c = -24 +12\cdot 1 -7\cdot(-2) = -24 +12 +14 = 2.
Passo 10
Agora obtemos o ponto de interseção substituindo em p_1 + a u + b v.