Q12: A matriz R abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela crigem, em \mathbb{R}^{3} :
R=\frac{1}{45}\left[\begin{array}{rrr} -19 & -8 & 40 \\\\ 40 & 5 & 20 \\\\ -8 & 44 & 5 \end{array}\right]
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) -\frac{4}{5}
(B) -\frac{1}{2}
(C) \frac{1}{2}
(D) \frac{3}{4}
(E) -\frac{3}{5}
(F) \frac{3}{5}
(G) -\frac{3}{4}
(H) \frac{4}{5}
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado dá a matriz
R=\frac{1}{45}\begin{pmatrix} -19 & -8 & 40 \\\\ 40 & 5 & 20 \\\\ -8 & 44 & 5 \end{pmatrix}
que representa uma rotação em \mathbb{R}^3 em torno de um eixo que passa pela origem. Queremos o cosseno do ângulo de rotação. Pelo método eixo-ângulo, primeiro encontramos o eixo (autovetor de autovalor 1), depois escolhemos um vetor perpendicular ao eixo e usamos produto escalar para obter \cos\theta.

Passo 2

O eixo de rotação é solução de
(R - I)v = 0.
Calculamos
R - I = \frac{1}{45}\begin{pmatrix} -19-45 & -8 & 40 \\\\ 40 & 5-45 & 20 \\\\ -8 & 44 & 5-45 \end{pmatrix} = \frac{1}{45}\begin{pmatrix} -64 & -8 & 40 \\\\ 40 & -40 & 20 \\\\ -8 & 44 & -40 \end{pmatrix}.
Resolvendo o sistema (R-I)v=0 obtemos
v = t\,(1,2,2),\quad t\neq0,
ou seja, o eixo de rotação é a reta gerada por (1,2,2).

Passo 3

Escolhemos um vetor u perpendicular a (1,2,2). Por exemplo,
u = (-2,1,0),
pois (1,2,2)\cdot(-2,1,0) = -2 + 2 + 0 = 0. Note que \|u\| = \sqrt{(-2)^2+1^2+0^2} = \sqrt{5}.

Passo 4

Calculamos w = R\,u. Cada componente de w é
w = \frac1{45}\begin{pmatrix} -19 & -8 & 40 \\\\ 40 & 5 & 20 \\\\ -8 & 44 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} = \frac1{45}\begin{pmatrix}30\\\ -75\\\ 60\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2/3\\\ -5/3\\\ 4/3\end{pmatrix}.
Verificamos \|w\| = \sqrt{(2/3)^2+(-5/3)^2+(4/3)^2} = \sqrt{5}.

Passo 5

O cosseno do ângulo de rotação \theta satisfaz
\cos\theta = \frac{u\cdot w}{\|u\|\;\|w\|} = \frac{(-2)\,(2/3)+1\,(-5/3)+0\,(4/3)}{\sqrt{5}\,\sqrt{5}} = \frac{-4/3 -5/3}{5} = \frac{-9/3}{5} = -\frac{3}{5}.

Resposta

E) -\dfrac{3}{5}

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