Q6: A equação do círculo com centro em ( x_{0}, y_{0} ) e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão, obtemos:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c
onde
a=-2 x_{0}, \quad b=-2 y_{0}, \quad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2} .
Nesta questão, vamos calcular o raio do círculo que passa por três pontos dados.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação ( * ) para valores fixos de a, b e c, que podem então ser determinados pela resolução de um sistema linear. Finalmente, a partir dos valores de a, b e c, podemos determinar o raio do círculo através das relações ( * * ).
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (-5,-5),(3,4) e (-1,1).
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 13.1
(B) 14.1
(C) 15.1
(D) 16.1
(E) 17.1
(F) 18.1
(G) 19.1
(H) 20.1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Pontos dados (peguei-os do enunciado):
    • P_1 = (-5,-5)
    • P_2 = (3,4)
    • P_3 = (-1,1)
  • O enunciado pede:
    1. Determinar o centro do círculo que passa por esses três pontos.
    2. Determinar o raio desse círculo.
    3. Entre as opções fornecidas, indicar qual valor é o mais próximo do raio.
  • Informação útil (forma geral do problema que vamos usar):
    • A equação de um círculo, ao abrir os quadrados, pode ser escrita como x^{2}+a x+y^{2}+b y=c,onde a=-2x_{0}, b=-2y_{0} e c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
    • Se os três pontos pertencem ao mesmo círculo, substituir cada ponto nessa equação gera três equações lineares em a,b,c. A partir de a,b,c podemos obter o centro (x_{0},y_{0}) e o raio r.

Passo 2

Vamos montar as três equações substituindo os pontos na forma
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c.
Cada substituição dá uma equação linear em a,b,c. Escrevo cada uma explicando os termos.
  • Para P_1 = (-5,-5):
    (-5)^{2}+a(-5)+(-5)^{2}+b(-5)=c,
    que simplifica para
    50-5a-5b=c.
  • Para P_2 = (3,4):
    3^{2}+a\cdot 3+4^{2}+b\cdot 4=c,
    que simplifica para
    25+3a+4b=c.
  • Para P_3 = (-1,1):
    (-1)^{2}+a(-1)+1^{2}+b\cdot 1=c,
    que simplifica para
    2-a+b=c.
Agora temos o sistema de três equações:
\begin{cases} 50-5a-5b=c,\\[4pt] 25+3a+4b=c,\\[4pt] 2-a+b=c. \end{cases}]

Passo 3

Vamos eliminar c subtraindo a terceira equação das outras duas. Isso é prático porque c aparece igual nas três e some ao fazer a diferença.
  • Subtraindo a 3ª da 2ª:
    (25+3a+4b)-(2-a+b)=0.
    Calculo termo a termo:
    25-2 +3a -(-a) +4b - b = 0 \quad\Rightarrow\quad 23 +4a +3b = 0.
    Assim obtenho a equação
    4a+3b = -23. \tag{I}
  • Subtraindo a 3ª da 1ª:
    (50-5a-5b)-(2-a+b)=0.
    Calculo termo a termo:
    50-2 -5a -(-a) -5b - b = 0 \quad\Rightarrow\quad 48 -4a -6b = 0.
    Simplifico dividindo por -2 (para ficar menor):
    2a+3b = 24. \tag{II}
Agora temos o sistema de duas equações lineares em a e b:
\begin{cases} 4a+3b = -23,\\[4pt] 2a+3b = 24. \end{cases}]

Passo 4

Resolvo o sistema para a e b. Subtraio a segunda equação da primeira para eliminar 3b:
(4a+3b)-(2a+3b) = -23 - 24.
No lado esquerdo o 3b cancela e sobra 2a; no direito fica -47. Logo
2a = -47 \quad\Rightarrow\quad a = -\frac{47}{2}.
Com a encontrado, uso (II) para achar b:
2\left(-\frac{47}{2}\right)+3b=24.
O primeiro termo é -47, então
-47 + 3b = 24 \quad\Rightarrow\quad 3b = 71 \quad\Rightarrow\quad b = \frac{71}{3}.
Portanto:
a = -\frac{47}{2},\qquad b = \frac{71}{3}.

Passo 5

Agora encontro c substituindo a e b em qualquer uma das três equações originais. Uso a 3ª (mais simples):
c = 2 - a + b.
Substituindo:
c = 2 - \left(-\frac{47}{2}\right) + \frac{71}{3} = 2 + \frac{47}{2} + \frac{71}{3}.
Para somar como fração comum (denominador 6):
2 = \frac{12}{6},\quad \frac{47}{2}=\frac{141}{6},\quad \frac{71}{3}=\frac{142}{6}.
Somando:
c = \frac{12+141+142}{6} = \frac{295}{6}.
Então c=\dfrac{295}{6} (aprox. 49{,}166666\ldots).

Passo 6

Lembrete: as relações para obter o centro (x_{0},y_{0}) são
a=-2x_{0},\qquad b=-2y_{0}.
Portanto
x_{0} = -\frac{a}{2},\qquad y_{0} = -\frac{b}{2}.
Substituo os valores de a e b:
  • Para x_{0}:
    x_{0} = -\frac{1}{2}\left(-\frac{47}{2}\right) = \frac{47}{4}.
    Em decimal, \dfrac{47}{4}=11{,}75.
  • Para y_{0}:
    y_{0} = -\frac{1}{2}\left(\frac{71}{3}\right) = -\frac{71}{6}.
    Em decimal, -\dfrac{71}{6}\approx -11{,}833333\ldots.
Assim o centro é
\left(x_{0},y_{0}\right)=\left(\frac{47}{4},-\frac{71}{6}\right) \approx (11{,}75,\,-11{,}8333\ldots).

Passo 7

Agora calculo o raio. Da relação dada:
c = r^{2} - x_{0}^{2} - y_{0}^{2},
portanto
r^{2} = c + x_{0}^{2} + y_{0}^{2}.
Vou calcular exatamente como frações para ficar preciso.
  • x_{0}^{2} = \left(\dfrac{47}{4}\right)^{2} = \dfrac{2209}{16}.
  • y_{0}^{2} = \left(-\dfrac{71}{6}\right)^{2} = \dfrac{5041}{36}.
  • c = \dfrac{295}{6}.
Coloco tudo sobre denominador comum 144:
x_{0}^{2} = \frac{2209}{16} = \frac{19881}{144},
y_{0}^{2} = \frac{5041}{36} = \frac{20164}{144},
c = \frac{295}{6} = \frac{7080}{144}.
Somando numeradores:
r^{2} = \frac{19881+20164+7080}{144} = \frac{47125}{144}.
Portanto
r = \sqrt{\frac{47125}{144}} = \frac{\sqrt{47125}}{12}.
Para obter valor decimal:
r^{2}\approx 327{,}256944\ldots\quad\Rightarrow\quad r\approx 18{,}088\ldots

Passo 8

Interpretação final e comparação com as opções: o raio calculado é aproximadamente 18{,}09. Entre as opções dadas, a que está mais próxima é \,18{,}1, que corresponde à alternativa (F).
Agora já sabemos o centro exato e o raio aproximado.

Resposta

\displaystyle \text{Centro }(x_{0},y_{0})=\left(\frac{47}{4},-\frac{71}{6}\right)
\displaystyle \text{Raio }r\approx 18{,}09\\ \Rightarrow\\ \text{alternativa }(F)\\\ 18{,}1

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