Q6: A equação do círculo com centro em ( x_{0}, y_{0} ) e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão, obtemos:
Nesta questão, vamos calcular o raio do círculo que passa por três pontos dados.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação ( * ) para valores fixos de a, b e c, que podem então ser determinados pela resolução de um sistema linear. Finalmente, a partir dos valores de a, b e c, podemos determinar o raio do círculo através das relações ( * * ).
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (-5,-5),(3,4) e (-1,1).
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 13.1
(B) 14.1
(C) 15.1
(D) 16.1
(E) 17.1
(F) 18.1
(G) 19.1
(H) 20.1
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Pontos dados (peguei-os do enunciado):
P_1 = (-5,-5)
P_2 = (3,4)
P_3 = (-1,1)
O enunciado pede:
Determinar o centro do círculo que passa por esses três pontos.
Determinar o raio desse círculo.
Entre as opções fornecidas, indicar qual valor é o mais próximo do raio.
Informação útil (forma geral do problema que vamos usar):
A equação de um círculo, ao abrir os quadrados, pode ser escrita comox^{2}+a x+y^{2}+b y=c,onde a=-2x_{0}, b=-2y_{0} e c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
Se os três pontos pertencem ao mesmo círculo, substituir cada ponto nessa equação gera três equações lineares em a,b,c. A partir de a,b,c podemos obter o centro (x_{0},y_{0}) e o raio r.
Passo 2
Vamos montar as três equações substituindo os pontos na forma
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c.
Cada substituição dá uma equação linear em a,b,c. Escrevo cada uma explicando os termos.
Interpretação final e comparação com as opções: o raio calculado é aproximadamente 18{,}09. Entre as opções dadas, a que está mais próxima é \,18{,}1, que corresponde à alternativa (F).
Agora já sabemos o centro exato e o raio aproximado.