Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) -11
(B) -10
(C) -9
(D) -8
(E) -7
(F) -6
(G) -5
(H) -4
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que é pedido.
As incógnitas a encontrar são as coordenadas do ponto de interseção \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) comum aos dois planos.
A questão pede especificamente o valor de \,x_{1}\, e dá as opções de (A) a (H).
Informações úteis explicitadas (peguei todas do enunciado acima):
Ponto base do primeiro plano: \displaystyle p_1=\begin{pmatrix}-9\\[4pt]6\\[4pt]14\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Diretores do primeiro plano: \displaystyle u=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-2\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{pmatrix},\quad v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]-3\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
Ponto base do segundo plano: \displaystyle p_2=\begin{pmatrix}-19\\[4pt]2\\[4pt]24\\[4pt]-4\end{pmatrix}.
Diretores do segundo plano: \displaystyle w=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]2\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{pmatrix},\quad z=\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\\[4pt]-2\\[4pt]2\end{pmatrix}.]
Passo 2
Para achar a interseção, introduzo parâmetros reais \,s,t,a,b tais que um ponto genérico do primeiro plano é
p_1 + s\,u + t\,v
e um ponto genérico do segundo plano é
p_2 + a\,w + b\,z.
O ponto de interseção existe quando esses dois coincidem, ou seja:
p_1 + s\,u + t\,v = p_2 + a\,w + b\,z.
Aqui \,s,t,a,b\in\mathbb{R} são os parâmetros que vamos determinar; cada coordenada dessa igualdade gera uma equação escalar.
Passo 3
Subtraio p_1 dos dois lados para organizar as incógnitas:
s\,u + t\,v - a\,w - b\,z = p_2 - p_1.
Calculo o lado direito (peguei p_2 e p_1 do enunciado):
Encontro o ponto de interseção calculando p_1 + s u + t v (usei p_1,u,v definidos no Passo 1 e os valores de s,t):
p_1 + s u + t v = \begin{pmatrix}-9\\[4pt]6\\[4pt]14\\[4pt]2\end{pmatrix} + 1\cdot\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-2\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{pmatrix} + 0\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]-3\\[4pt]-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-9-2\\[4pt]6-2\\[4pt]14+3\\[4pt]2-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-11\\[4pt]4\\[4pt]17\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Verificação rápida (opcional, só para confirmar): usando p_2 + a w + b z com a=-1,b=2 também dá