Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{r} -9 \\\\ 6 \\\\ 14 \\\\ 2 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} -2 \\\\ -2 \\\\ 3 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -2 \\\\ -3 \\\\ -3 \end{array}\right]\right\} \mathrm{e}} \\\ & {\left[\begin{array}{r} -19 \\\\ 2 \\\\ 24 \\\\ -4 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} -2 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ 2 \\\\ -2 \\\\ 2 \end{array}\right]\right\} .} \end{aligned}
Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) -11
(B) -10
(C) -9
(D) -8
(E) -7
(F) -6
(G) -5
(H) -4

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que é pedido.
  • O primeiro plano é o conjunto de pontos da forma
\begin{pmatrix}-9\\[4pt]6\\[4pt]14\\[4pt]2\end{pmatrix} + \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-2\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]-3\\[4pt]-3\end{pmatrix}\right\}.
  • O segundo plano é o conjunto de pontos da forma
\begin{pmatrix}-19\\[4pt]2\\[4pt]24\\[4pt]-4\end{pmatrix} + \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}-2\\[4pt]2\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3\\[4pt]2\\[4pt]-2\\[4pt]2\end{pmatrix}\right\}.
As incógnitas a encontrar são as coordenadas do ponto de interseção
\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) comum aos dois planos.
A questão pede especificamente o valor de \,x_{1}\, e dá as opções de (A) a (H).
Informações úteis explicitadas (peguei todas do enunciado acima):
  • Ponto base do primeiro plano: \displaystyle p_1=\begin{pmatrix}-9\\[4pt]6\\[4pt]14\\[4pt]2\end{pmatrix}.
  • Diretores do primeiro plano: \displaystyle u=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-2\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{pmatrix},\quad v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]-3\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
  • Ponto base do segundo plano: \displaystyle p_2=\begin{pmatrix}-19\\[4pt]2\\[4pt]24\\[4pt]-4\end{pmatrix}.
  • Diretores do segundo plano: \displaystyle w=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]2\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{pmatrix},\quad z=\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\\[4pt]-2\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 2

Para achar a interseção, introduzo parâmetros reais \,s,t,a,b tais que um ponto genérico do primeiro plano é
p_1 + s\,u + t\,v
e um ponto genérico do segundo plano é
p_2 + a\,w + b\,z.
O ponto de interseção existe quando esses dois coincidem, ou seja:
p_1 + s\,u + t\,v = p_2 + a\,w + b\,z.
Aqui \,s,t,a,b\in\mathbb{R} são os parâmetros que vamos determinar; cada coordenada dessa igualdade gera uma equação escalar.

Passo 3

Subtraio p_1 dos dois lados para organizar as incógnitas:
s\,u + t\,v - a\,w - b\,z = p_2 - p_1.
Calculo o lado direito (peguei p_2 e p_1 do enunciado):
p_2 - p_1 = \begin{pmatrix}-19\\[4pt]2\\[4pt]24\\[4pt]-4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-9\\[4pt]6\\[4pt]14\\[4pt]2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-10\\[4pt]-4\\[4pt]10\\[4pt]-6\end{pmatrix}.]

Passo 4

Escrevo as quatro equações escalares (uma por coordenada). Usando as componentes de u,v,w,z\) e do vetor à direita, obtemos \[\begin{cases} -2s + 1t + 2a -3b = -10,\\[4pt] -2s -2t -2a -2b = -4,\\[4pt] 3s -3t -3a +2b = 10,\\[4pt] -1s -3t +1a -2b = -6. \end{cases}
Aqui as variáveis são s,t,a,b\]. É um sistema linear \(4\times4 que normalmente tem solução única.]

Passo 5

Organizo o sistema na forma de matriz aumentada (cada entrada em TeX):
\left[\begin{array}{rrrr|r} -2 & 1 & 2 & -3 & -10\\[4pt] -2 & -2 & -2 & -2 & -4\\[4pt] 3 & -3 & -3 & 2 & 10\\[4pt] -1 & -3 & 1 & -2 & -6 \end{array}\right].
Vou resolver por eliminação de Gauss, explicando cada operação. O objetivo é zerar abaixo dos pivôs e depois fazer substituição regressiva.]

Passo 6

Primeira rodada: eliminar a incógnita s nas linhas 2,3,4 usando a linha 1 como referência.
  • Faço R_2 \leftarrow R_1 - R_2:
R_2: \;[0,\;3,\;4,\;-1\;|\;-6].
(Detalhe: -2 -(-2)=0,\; 1-(-2)=3,\;2-(-2)=4,\;-3-(-2)=-1,\;-10-(-4)=-6.)
  • Faço R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac{3}{2}R_1 para zerar o primeiro coeficiente:
R_3: \;[0,\;-{\tfrac{3}{2}},\;0,\;-\tfrac{5}{2}\;|\;-5].
Multiplico depois por 2 para evitar frações:
R_3 \leftarrow 2R_3 = [0,\;-3,\;0,\;-5\;|\;-10].
  • Faço R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{1}{2}R_1 (para zerar o primeiro coeficiente):
R_4: \;[0,\;-\tfrac{7}{2},\;0,\;-\tfrac{1}{2}\;|\;-1].
Multiplico por 2:
R_4 \leftarrow 2R_4 = [0,\;-7,\;0,\;-1\;|\;-2].
Após essas operações, a matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{rrrr|r} -2 & 1 & 2 & -3 & -10\\[4pt] 0 & 3 & 4 & -1 & -6\\[4pt] 0 & -3 & 0 & -5 & -10\\[4pt] 0 & -7 & 0 & -1 & -2 \end{array}\right].]

Passo 7

Agora uso R_2 (com pivô 3) para eliminar a incógnita t nas linhas 3 e 4.
  • Faço R_3 \leftarrow R_3 + R_2:
R_3: \;[0,\;0,\;4,\;-6\;|\;-16].
(Cálculos: -3+3=0,\;0+4=4,\;-5+(-1)=-6,\;-10+(-6)=-16.)
  • Faço R_4 \leftarrow R_4 + \tfrac{7}{3}R_2 para zerar o coeficiente -7:
R_4: \;[0,\;0,\;\tfrac{28}{3},\;-\tfrac{10}{3}\;|\;-16].
Multiplico por 3 para eliminar frações:
R_4 \leftarrow 3R_4 = [0,\;0,\;28,\;-10\;|\;-48].
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{rrrr|r} -2 & 1 & 2 & -3 & -10\\[4pt] 0 & 3 & 4 & -1 & -6\\[4pt] 0 & 0 & 4 & -6 & -16\\[4pt] 0 & 0 & 28 & -10 & -48 \end{array}\right].]

Passo 8

Eliminar a terceira incógnita a na última linha usando R_3.
  • Faço R_4 \leftarrow R_4 - 7R_3 (pois 28-7\cdot4=0):
R_4: \;[0,\;0,\;0,\;32\;|\;64].
(Detalhe: -10 -7\cdot(-6) = -10 +42 = 32,\; -48 -7\cdot(-16) = -48 +112 = 64.)
Agora a última equação é 32b = 64.

Passo 9

Resolve-se a partir da última linha:
  • 32b = 64 \implies b = \dfrac{64}{32} = 2.
Substituo para trás:
  • Da terceira linha: 4a -6b = -16. Substituindo b=2:
4a -6\cdot2 = -16 \implies 4a -12 = -16 \implies 4a = -4 \implies a = -1.
  • Da segunda linha: 3t + 4a - b = -6. Substituindo a=-1, b=2:
3t + 4(-1) -2 = -6 \implies 3t -4 -2 = -6 \implies 3t -6 = -6 \implies 3t = 0 \implies t = 0.
  • Da primeira linha: -2s + t + 2a -3b = -10. Substituindo t=0, a=-1, b=2:
-2s + 0 + 2(-1) -3\cdot2 = -10 \implies -2s -2 -6 = -10 \implies -2s -8 = -10 \implies -2s = -2 \implies s = 1.
Portanto os parâmetros são
s=1,\quad t=0,\quad a=-1,\quad b=2.

Passo 10

Encontro o ponto de interseção calculando p_1 + s u + t v (usei p_1,u,v definidos no Passo 1 e os valores de s,t):
p_1 + s u + t v = \begin{pmatrix}-9\\[4pt]6\\[4pt]14\\[4pt]2\end{pmatrix} + 1\cdot\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-2\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{pmatrix} + 0\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]-3\\[4pt]-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-9-2\\[4pt]6-2\\[4pt]14+3\\[4pt]2-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-11\\[4pt]4\\[4pt]17\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Verificação rápida (opcional, só para confirmar): usando p_2 + a w + b z com a=-1,b=2 também dá
\begin{pmatrix}-19\\[4pt]2\\[4pt]24\\[4pt]-4\end{pmatrix} -1\cdot\begin{pmatrix}-2\\[4pt]2\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{pmatrix} +2\cdot\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\\[4pt]-2\\[4pt]2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-11\\[4pt]4\\[4pt]17\\[4pt]1\end{pmatrix},
confirmando que é o ponto comum.]

Resposta

(A) -11

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