Q11: Considere as afirmativas abaixoc
I - Toda reflexão T: \mathbb{R}^{33} \rightarrow \mathbb{R}^{33} é diagonalizável.
II - Se S: \mathbb{R}^{35} \rightarrow \mathbb{R}^{35} possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 17 e 14 respectivamente, então S é diagonalizável.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá duas afirmativas e pede que decidamos quais são verdadeiras ou falsas.
Afirmativa I: “Toda reflexão T: \mathbb{R}^{33} \rightarrow \mathbb{R}^{33} é diagonalizável.”
Afirmativa II: “Se S: \mathbb{R}^{35} \rightarrow \mathbb{R}^{35} possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 17 e 14 respectivamente, então S é diagonalizável.”
Informações importantes fornecidas:
  • Para I: temos uma reflexão em \mathbb{R}^{33}.
  • Para II: um operador linear em \mathbb{R}^{35} tem exatamente dois autovalores reais distintos (ou pelo menos dois autovalores reais distintos) e as multiplicidades geométricas desses autovalores são 17 e 14 respectivamente.
O que se pede: determinar a verdade de cada afirmação e, portanto, escolher a alternativa correta entre (A)–(D).

Passo 2

Vou explicar o que significa “reflexão” e recolher as propriedades que vamos usar (sem ainda provar a diagonalizabilidade):
  • Uma reflexão (no sentido usual de álgebra linear) é um operador linear T que “reflete” em relação a um subespaço fixando todo vetor do subespaço e enviando a componente ortogonal ao subespaço para o seu negativo. Um exemplo concreto: se u é um vetor unitário, a reflexão em relação ao hiperplano ortogonal a u é
T(x)=x-2\langle x,u\rangle u.
  • Uma propriedade chave de uma reflexão é que T é uma involução, ou seja,
T^2 = I.
Isto significa que aplicar a reflexão duas vezes devolve o vetor original.

Passo 3

Agora vamos ligar a condição T^2=I à diagonalizabilidade de operadores reais de forma didática:
  • Uma matriz/operador satisfazendo T^2 = I tem seu polinômio mínimo dividindo m_T(\lambda)=\lambda^2-1=(\lambda-1)(\lambda+1).
  • Os fatores (\lambda-1) e (\lambda+1) são distintos (raízes distintas). Quando o polinômio mínimo se fatora em fatores lineares distintos, o operador é diagonalizável (teorema: se o polinômio mínimo tem raízes simples então o operador é diagonalizável).
  • Portanto, qualquer operador com T^2=I é diagonalizável (sobre o corpo onde os fatores são lineares; aqui estamos em \mathbb{R} e os fatores são reais).
Explicando de forma ainda mais concreta: os autovalores possíveis de tal operador são apenas 1 e -1. O espaço \mathbb{R}^{33} se decompõe como soma direta dos eigenspaces
\mathbb{R}^{33} = E_{1}\oplus E_{-1},
e numa base formada por vetores desses eigenspaces a matriz de T é diagonal com entradas apenas 1 e -1.

Passo 4

Aplicando o raciocínio ao item I: em \mathbb{R}^{33} uma reflexão tem apenas autovalores 1 e -1. Pode ocorrer, por exemplo, que a multiplicidade geométrica de 1 seja 32 e de -1 seja 1 (caso de reflexão em um hiperplano), mas qualquer combinação (somas das dimensões dos eigenspaces) soma 33. Como o polinômio mínimo divide (\lambda-1)(\lambda+1) com raízes distintas, concluímos que toda reflexão é diagonalizável (sobre \mathbb{R}). Portanto a afirmativa I é verdadeira.
Observação intuitiva: uma reflexão é, essencialmente, “simples” — ela só estica por 1 em certas direções e por -1 nas outras, não há blocos de Jordan não-triviais.

Passo 5

Agora vamos estudar a afirmativa II com calma, definindo termos que serão usados:
  • Autovalor (valor próprio) \lambda de um operador S é um escalar tal que existe vetor não nulo v com S(v)=\lambda v.
  • O eigenspace associado a \lambda é \ker(S-\lambda I). A multiplicidade geométrica de \lambda é \dim \ker(S-\lambda I).
  • A multiplicidade algébrica de \lambda é sua multiplicidade como raiz do polinômio característico de S.
  • Teorema útil: S é diagonalizável (sobre \mathbb{R}) se, e somente se, a soma das multiplicidades geométricas de todos os autovalores reais (considerando todos os autovalores que produzem vetores próprios reais) é igual a 35; equivalently, para cada autovalor real, multiplicidade algébrica = multiplicidade geométrica, e ainda não podem existir fatores quadráticos irreducíveis que impeçam diagonalização sobre \mathbb{R}.

Passo 6

Aplicando esses conceitos ao enunciado II: foi dado que existem dois autovalores reais distintos cujas multiplicidades geométricas são 17 e 14. A soma das multiplicidades geométricas desses dois autovalores é
17 + 14 = 31.
Mas o espaço tem dimensão 35. Para que S fosse diagonalizável sobre \mathbb{R}, precisaríamos de um total de 35 vetores próprios reais linearmente independentes, ou seja, a soma das multiplicidades geométricas (contando todos os autovalores reais que geram vetores próprios reais) deveria ser 35. Com apenas essas duas multiplicidades geométricas somando 31, faltam 4 dimensões para ter uma base de autovetores reais.
Isso mostra que, com as informações dadas, não se pode garantir que S seja diagonalizável. Pode-se ter diferentes situações que impedem a diagonalização:
  • Pode haver valores próprios complexos não reais (em blocos 2\times2 reais), que não fornecem vetores próprios reais suficientes; ou
  • Pode haver que os autovalores reais tenham multiplicidade algébrica maior do que geométrica (blocos de Jordan não triviais), ou seja, alguma das multiplicidades algébricas excede a geométrica — isso já impede diagonalização.

Passo 7

Para fixar a ideia, construo um contraexemplo explícito (descrição construtiva, não preciso escrever a matriz inteira): escolha dois escalar reais distintos \lambda e \mu. Considere a forma em blocos da matriz de S numa base apropriada:
S \sim \operatorname{diag}\big(\lambda I_{17},\, J\big),
onde I_{17} é a identidade de ordem 17 (correspondendo a autovalor \lambda com multiplicidade algébrica e geométrica 17), e J é uma matriz real de ordem 18 cujo polinômio característico é (\mu-\lambda)^{18} (ou melhor: cujo único autovalor é \mu), mas cuja multiplicidade geométrica é 14 — isso é conseguido por escolher a decomposição de Jordan para \mu composta por 14 blocos de Jordan cuja soma dos tamanhos dá 18. Por exemplo, quatro blocos de tamanho 2 e dez blocos de tamanho 1 dão 4\cdot 2 + 10\cdot 1 = 18 e 14 blocos no total; assim a multiplicidade geométrica de \mu é 14 enquanto sua multiplicidade algébrica é 18. Nesse caso total de dimensões é 17+18=35, as multiplicidades geométricas pedidas são 17 e 14, mas S não é diagonalizável porque J tem blocos de Jordan de tamanho maior que 1.
Logo há operadores S em \mathbb{R}^{35} que satisfazem exatamente as hipóteses do enunciado II e que não são diagonalizáveis. Portanto a afirmativa II é falsa.

Passo 8

Resumo do raciocínio final (sem a opção):
  • I é verdadeira porque reflexões satisfazem T^2=I e têm polinômio mínimo com raízes \pm 1 distintas, logo são diagonalizáveis.
  • II é falsa porque as multiplicidades geométricas dadas somam 31<35; existe, portanto, espaço para blocos de Jordan ou autovalores não reais que impedem a diagonalização — e mesmo dando autovalores todos reais, a multiplicidade algébrica pode exceder a geométrica, levando à não diagonalizabilidade. Apresentei um contraexemplo construtivo em forma de blocos.

Resposta

(B) Só I é verdadeira.

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