Q11: Considere as afirmativas abaixoc
I - Toda reflexão
é diagonalizável.
II - Se
possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 17 e 14 respectivamente, então
é diagonalizável.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I - Toda reflexão
II - Se
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá duas afirmativas e pede que decidamos quais são verdadeiras ou falsas.
Afirmativa I: “Toda reflexão
é diagonalizável.”
Afirmativa II: “Se possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 17 e 14 respectivamente, então
é diagonalizável.”
Afirmativa II: “Se
Informações importantes fornecidas:
- Para I: temos uma reflexão em
. - Para II: um operador linear em
tem exatamente dois autovalores reais distintos (ou pelo menos dois autovalores reais distintos) e as multiplicidades geométricas desses autovalores são e respectivamente.
O que se pede: determinar a verdade de cada afirmação e, portanto, escolher a alternativa correta entre (A)–(D).
Passo 2
Vou explicar o que significa “reflexão” e recolher as propriedades que vamos usar (sem ainda provar a diagonalizabilidade):
- Uma reflexão (no sentido usual de álgebra linear) é um operador linear
que “reflete” em relação a um subespaço fixando todo vetor do subespaço e enviando a componente ortogonal ao subespaço para o seu negativo. Um exemplo concreto: se é um vetor unitário, a reflexão em relação ao hiperplano ortogonal a é
- Uma propriedade chave de uma reflexão é que
é uma involução, ou seja,
Isto significa que aplicar a reflexão duas vezes devolve o vetor original.
Passo 3
Agora vamos ligar a condição
à diagonalizabilidade de operadores reais de forma didática:
- Uma matriz/operador satisfazendo
tem seu polinômio mínimo dividindo . - Os fatores
e são distintos (raízes distintas). Quando o polinômio mínimo se fatora em fatores lineares distintos, o operador é diagonalizável (teorema: se o polinômio mínimo tem raízes simples então o operador é diagonalizável). - Portanto, qualquer operador com
é diagonalizável (sobre o corpo onde os fatores são lineares; aqui estamos em e os fatores são reais).
Explicando de forma ainda mais concreta: os autovalores possíveis de tal operador são apenas
e
. O espaço
se decompõe como soma direta dos eigenspaces
e numa base formada por vetores desses eigenspaces a matriz de
é diagonal com entradas apenas
e
.
Passo 4
Aplicando o raciocínio ao item I: em
uma reflexão tem apenas autovalores
e
. Pode ocorrer, por exemplo, que a multiplicidade geométrica de
seja
e de
seja
(caso de reflexão em um hiperplano), mas qualquer combinação (somas das dimensões dos eigenspaces) soma
. Como o polinômio mínimo divide
com raízes distintas, concluímos que toda reflexão é diagonalizável (sobre
). Portanto a afirmativa I é verdadeira.
Observação intuitiva: uma reflexão é, essencialmente, “simples” — ela só estica por
em certas direções e por
nas outras, não há blocos de Jordan não-triviais.
Passo 5
Agora vamos estudar a afirmativa II com calma, definindo termos que serão usados:
- Autovalor (valor próprio)
de um operador é um escalar tal que existe vetor não nulo com . - O eigenspace associado a
é . A multiplicidade geométrica de é . - A multiplicidade algébrica de
é sua multiplicidade como raiz do polinômio característico de . - Teorema útil:
é diagonalizável (sobre ) se, e somente se, a soma das multiplicidades geométricas de todos os autovalores reais (considerando todos os autovalores que produzem vetores próprios reais) é igual a ; equivalently, para cada autovalor real, multiplicidade algébrica = multiplicidade geométrica, e ainda não podem existir fatores quadráticos irreducíveis que impeçam diagonalização sobre .
Passo 6
Aplicando esses conceitos ao enunciado II: foi dado que existem dois autovalores reais distintos cujas multiplicidades geométricas são
e
. A soma das multiplicidades geométricas desses dois autovalores é
Mas o espaço tem dimensão
. Para que
fosse diagonalizável sobre
, precisaríamos de um total de
vetores próprios reais linearmente independentes, ou seja, a soma das multiplicidades geométricas (contando todos os autovalores reais que geram vetores próprios reais) deveria ser
. Com apenas essas duas multiplicidades geométricas somando
, faltam
dimensões para ter uma base de autovetores reais.
Isso mostra que, com as informações dadas, não se pode garantir que
seja diagonalizável. Pode-se ter diferentes situações que impedem a diagonalização:
- Pode haver valores próprios complexos não reais (em blocos
reais), que não fornecem vetores próprios reais suficientes; ou - Pode haver que os autovalores reais tenham multiplicidade algébrica maior do que geométrica (blocos de Jordan não triviais), ou seja, alguma das multiplicidades algébricas excede a geométrica — isso já impede diagonalização.
Passo 7
Para fixar a ideia, construo um contraexemplo explícito (descrição construtiva, não preciso escrever a matriz inteira): escolha dois escalar reais distintos
e
. Considere a forma em blocos da matriz de
numa base apropriada:
onde
é a identidade de ordem
(correspondendo a autovalor
com multiplicidade algébrica e geométrica
), e
é uma matriz real de ordem
cujo polinômio característico é
(ou melhor: cujo único autovalor é
), mas cuja multiplicidade geométrica é
— isso é conseguido por escolher a decomposição de Jordan para
composta por
blocos de Jordan cuja soma dos tamanhos dá
. Por exemplo, quatro blocos de tamanho
e dez blocos de tamanho
dão
e
blocos no total; assim a multiplicidade geométrica de
é
enquanto sua multiplicidade algébrica é
. Nesse caso total de dimensões é
, as multiplicidades geométricas pedidas são
e
, mas
não é diagonalizável porque
tem blocos de Jordan de tamanho maior que
.
Logo há operadores
em
que satisfazem exatamente as hipóteses do enunciado II e que não são diagonalizáveis. Portanto a afirmativa II é falsa.
Passo 8
Resumo do raciocínio final (sem a opção):
- I é verdadeira porque reflexões satisfazem
e têm polinômio mínimo com raízes distintas, logo são diagonalizáveis. - II é falsa porque as multiplicidades geométricas dadas somam
; existe, portanto, espaço para blocos de Jordan ou autovalores não reais que impedem a diagonalização — e mesmo dando autovalores todos reais, a multiplicidade algébrica pode exceder a geométrica, levando à não diagonalizabilidade. Apresentei um contraexemplo construtivo em forma de blocos.
Resposta
(B) Só I é verdadeira.