Q14: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I - Se A \vec{x}=\vec{b} tem solução, então \vec{b} \in \operatorname{Imagem}(A).
II - Se A \vec{x}=\vec{b} tem solução única, então A é injetiva.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro alternativas (A), (B), (C), (D) e (E) e pede escolher qual descreve corretamente a validade das duas afirmativas I e II. As afirmativas são:
I - Se A\vec{x}=\vec{b} tem solução, então \vec{b} \in \operatorname{Imagem}(A).
II - Se A\vec{x}=\vec{b} tem solução única, então A é injetiva.
Informações relevantes dadas no enunciado: temos uma matriz (ou transformação linear) A, um vetor incógnita \vec{x} e um vetor \vec{b}. Não há mais restrições explícitas sobre dimensões; a afirmação usa os conceitos de “ter solução”, “ter solução única”, “Imagem” (espaço imagem/colunas) e “injetiva”.

Passo 2

Entender o que significa “ \operatorname{Imagem}(A)”. A definição: \operatorname{Imagem}(A) é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como A\vec{x} para algum \vec{x}. Em outras palavras,
\operatorname{Imagem}(A)=\{\,A\vec{x}\mid \vec{x}\text{ varia por todos os vetores do domínio}\,\}.í
Isso significa que, por definição, um vetor \vec{b} pertence a \operatorname{Imagem}(A) exatamente quando existe \vec{x} tal que A\vec{x}=\vec{b}.

Passo 3

Analisando a afirmativa I com base na definição do passo anterior: I diz “Se A\vec{x}=\vec{b} tem solução, então \vec{b}\in\operatorname{Imagem}(A)”. Mas por definição de imagem, ter uma \vec{x} com A\vec{x}=\vec{b} é precisamente a condição para que \vec{b} esteja na imagem. Portanto a afirmativa I é verdadeira. (Comentário amigo: isso é tautológico — é a própria definição da imagem/coluna de A.)

Passo 4

Precisamos agora entender o que significa “ A é injetiva”. Para uma transformação linear A, injetividade significa que vetores distintos do domínio são levados a vetores distintos no contradomínio; formalmente:
A\text{ é injetiva} \iff \bigl(A\vec{x}=A\vec{y}\Rightarrow \vec{x}=\vec{y}\bigr).é
Uma caracterização prática muito usada é: A é injetiva se, e somente se, o núcleo (ou núcleo) de A é apenas o vetor zero, isto é,
\ker(A)=\{\vec{0}\}.
Aqui \ker(A)=\{\vec{v}\mid A\vec{v}=\vec{0}\}.

Passo 5

Provar que a afirmativa II é verdadeira: II afirma “Se A\vec{x}=\vec{b} tem solução única, então A é injetiva.” Vamos fazer uma prova direta e clara.
Suponha que existe exatamente uma solução \vec{x}_0 tal que A\vec{x}_0=\vec{b}. Queremos mostrar que \ker(A)=\{\vec{0}\}, o que implica que A é injetiva.
Seja \vec{v}\in\ker(A). Então A\vec{v}=\vec{0}. Considere \vec{x}_0+\vec{v}. Temos
A(\vec{x}_0+\vec{v})=A\vec{x}_0+A\vec{v}=\vec{b}+\vec{0}=\vec{b}.
Portanto \vec{x}_0+\vec{v} também é uma solução da equação A\vec{x}=\vec{b}. Pelo hipótese de unicidade da solução, devemos ter \vec{x}_0+\vec{v}=\vec{x}_0, daí \vec{v}=\vec{0}. Como isso vale para qualquer \vec{v}\in\ker(A), concluímos \ker(A)=\{\vec{0}\}. Portanto A é injetiva.
(Comentário amigo: a ideia prática é simples — se existe um vetor não-nulo no núcleo, eu posso somá‑lo a qualquer solução e gerar outra solução; isso impossibilita unicidade.)

Passo 6

Dar um exemplo concreto para fixar a intuição (ilustrativo): tome
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Aqui A não é injetiva porque \ker(A)=\{(0,t)\mid t\in\mathbb{R}\} contém vetores não nulos. As soluções da equação A\vec{x}=\vec{b} são todos os vetores \vec{x}=(1,t)^T com t arbitrário; há infinitas soluções, ou seja, não há unicidade. Esse exemplo mostra a contrapartida: não injetiva → possibilidade de muitas soluções quando existe solução. Já o argumento do passo 5 mostra que se houver unicidade então não pode existir vetor não nulo no núcleo, logo injetiva.]

Passo 7

Conclusão lógica combinada: a afirmativa I é verdadeira (pela definição de imagem) e a afirmativa II também é verdadeira (prova do passo 5). Logo ambas as afirmativas I e II são verdadeiras.

Resposta

(D) Todas são verdadeiras.

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