Q14: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I - Se
tem solução, então
.
II - Se
tem solução única, então
é injetiva.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I - Se
II - Se
Passo 1
O enunciado apresenta quatro alternativas (A), (B), (C), (D) e (E) e pede escolher qual descreve corretamente a validade das duas afirmativas I e II. As afirmativas são:
I - Se
tem solução, então
.
II - Se
tem solução única, então
é injetiva.
Informações relevantes dadas no enunciado: temos uma matriz (ou transformação linear)
, um vetor incógnita
e um vetor
. Não há mais restrições explícitas sobre dimensões; a afirmação usa os conceitos de “ter solução”, “ter solução única”, “Imagem” (espaço imagem/colunas) e “injetiva”.
Passo 2
Entender o que significa “
”. A definição:
é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como
para algum
. Em outras palavras,
Isso significa que, por definição, um vetor
pertence a
exatamente quando existe
tal que
.
Passo 3
Analisando a afirmativa I com base na definição do passo anterior: I diz “Se
tem solução, então
”. Mas por definição de imagem, ter uma
com
é precisamente a condição para que
esteja na imagem. Portanto a afirmativa I é verdadeira. (Comentário amigo: isso é tautológico — é a própria definição da imagem/coluna de
.)
Passo 4
Precisamos agora entender o que significa “
é injetiva”. Para uma transformação linear
, injetividade significa que vetores distintos do domínio são levados a vetores distintos no contradomínio; formalmente:
Uma caracterização prática muito usada é:
é injetiva se, e somente se, o núcleo (ou núcleo) de
é apenas o vetor zero, isto é,
Aqui
.
Passo 5
Provar que a afirmativa II é verdadeira: II afirma “Se
tem solução única, então
é injetiva.” Vamos fazer uma prova direta e clara.
Suponha que existe exatamente uma solução
tal que
. Queremos mostrar que
, o que implica que
é injetiva.
Seja
. Então
. Considere
. Temos
Portanto
também é uma solução da equação
. Pelo hipótese de unicidade da solução, devemos ter
, daí
. Como isso vale para qualquer
, concluímos
. Portanto
é injetiva.
(Comentário amigo: a ideia prática é simples — se existe um vetor não-nulo no núcleo, eu posso somá‑lo a qualquer solução e gerar outra solução; isso impossibilita unicidade.)
Passo 6
Dar um exemplo concreto para fixar a intuição (ilustrativo): tome
Aqui
não é injetiva porque
contém vetores não nulos. As soluções da equação
são todos os vetores
com
arbitrário; há infinitas soluções, ou seja, não há unicidade. Esse exemplo mostra a contrapartida: não injetiva → possibilidade de muitas soluções quando existe solução. Já o argumento do passo 5 mostra que se houver unicidade então não pode existir vetor não nulo no núcleo, logo injetiva.]
Passo 7
Conclusão lógica combinada: a afirmativa I é verdadeira (pela definição de imagem) e a afirmativa II também é verdadeira (prova do passo 5). Logo ambas as afirmativas I e II são verdadeiras.
Resposta
(D) Todas são verdadeiras.