Q13: O cosseno do ângulo entre os vetores (3,0,-4,0) e (3,4,0,0) é:

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no espaço \mathbb{R}^4: (3,0,-4,0) e (3,4,0,0). A pergunta é: qual é o cosseno do ângulo entre esses dois vetores?\n
Informações relevantes dadas:
u = (3,0,-4,0) e v = (3,4,0,0).
O que se pede: calcular \cos\theta, onde \theta é o ângulo entre u e v.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (essa é a peça-chave): \cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}.
Explicando a fórmula de forma didática:
  • u\cdot v é o produto escalar (ou dot product) entre u e v. Para dois vetores u=(u_1,u_2,\dots,u_n) e v=(v_1,v_2,\dots,v_n) temos u\cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + \cdots + u_nv_n.
  • \|u\| é a norma (comprimento) do vetor u, definida por \|u\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + \cdots + u_n^2}.
  • Geometricamente, a fórmula relaciona o produto escalar com o ângulo entre vetores: quanto maior o produto escalar em relação aos comprimentos, maior o cosseno (mais próximo de 1), e se o produto escalar for negativo o cosseno é negativo (ângulo obtuso).

Passo 3

Calcular o produto escalar u\cdot v para os vetores dados. Usando a definição:
u\cdot v = 3\cdot 3 + 0\cdot 4 + (-4)\cdot 0 + 0\cdot 0.
Agora fazemos as multiplicações e somas passo a passo:
3\cdot 3 = 9,\quad 0\cdot 4 = 0,\quad (-4)\cdot 0 = 0,\quad 0\cdot 0 = 0.
Somando:
u\cdot v = 9 + 0 + 0 + 0 = 9.

Passo 4

Calcular a norma de u, \|u\|. Pela definição:
\|u\| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-4)^2 + 0^2}.
Calculando os quadrados:
3^2 = 9,\quad 0^2 = 0,\quad (-4)^2 = 16,\quad 0^2 = 0.
Somando dentro da raiz:
\|u\| = \sqrt{9 + 0 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5.

Passo 5

Calcular a norma de v, \|v\|. Pela definição:
\|v\| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2 + 0^2}.
Calculando os quadrados:
3^2 = 9,\quad 4^2 = 16,\quad 0^2 = 0,\quad 0^2 = 0.
Somando dentro da raiz:
\|v\| = \sqrt{9 + 16 + 0 + 0} = \sqrt{25} = 5.

Passo 6

Agora substituímos na fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|} = \frac{9}{5\cdot 5} = \frac{9}{25}.
Se preferir em decimal, \dfrac{9}{25} = 0{,}36. Observação rápida: o valor é positivo e menor que 1, então o ângulo entre os vetores é agudo (entre 0^\circ e 90^\circ).

Resposta

\dfrac{9}{25}

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