Q13: O cosseno do ângulo entre os vetores
e
é:
Passo 1
O enunciado dá dois vetores no espaço
:
e
. A pergunta é: qual é o cosseno do ângulo entre esses dois vetores?\n
Informações relevantes dadas:
e
.
O que se pede: calcular , onde
é o ângulo entre
e
.
Informações relevantes dadas:
O que se pede: calcular
Passo 2
Fórmula que vamos usar (essa é a peça-chave):
Explicando a fórmula de forma didática:
-
é o produto escalar (ou dot product) entre e . Para dois vetores e temos -
é a norma (comprimento) do vetor , definida por - Geometricamente, a fórmula relaciona o produto escalar com o ângulo entre vetores: quanto maior o produto escalar em relação aos comprimentos, maior o cosseno (mais próximo de
), e se o produto escalar for negativo o cosseno é negativo (ângulo obtuso).
Passo 3
Calcular o produto escalar
para os vetores dados. Usando a definição:
Agora fazemos as multiplicações e somas passo a passo:
Somando:
Passo 4
Calcular a norma de
,
. Pela definição:
Calculando os quadrados:
Somando dentro da raiz:
Passo 5
Calcular a norma de
,
. Pela definição:
Calculando os quadrados:
Somando dentro da raiz:
Passo 6
Agora substituímos na fórmula do cosseno:
Se preferir em decimal,
. Observação rápida: o valor é positivo e menor que
, então o ângulo entre os vetores é agudo (entre
e
).