Q11: Considere o subespaço
definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de
(complemento ortogonal de
)?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
gerado por três vetores e pede: qual dos conjuntos listados é uma base de
(o complemento ortogonal de
)?
Informações fornecidas:
-
- As alternativas oferecem vários conjuntos de vetores de
e devemos escolher qual (se houver) é uma base de .
O que é pedido:
- Identificar, entre as alternativas (A)–(H), qual conjunto é uma base de
.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa estar em
e como encontrar
na prática (aula rápida e direta):
- Definição prática: um vetor
pertence a se e somente se é ortogonal a todos os geradores de . Ou seja, se são os vetores geradores, então quando
- Produto interno (produto escalar) em
: para e vale
Método que vou usar: escrever as três equações lineares
usando um vetor genérico
, resolver o sistema e obter a descrição de
. Isso também dará a dimensão de
e uma base natural.
Passo 3
Escrevo
e imponho ortogonalidade com cada gerador de
.
Os geradores são:
Escrever as equações
:
Com
:
Logo
Com
:
Logo
Com
:
Logo
Agora juntando:
- de
e obtemos então (coerente com a terceira equação). - Portanto as relações são
e , enquanto permanece livre.
Assim a solução geral para
é
onde
são parâmetros livres.
Passo 4
Consequências importantes (guia de prova rápida na hora):
- A descrição
mostra que (dois parâmetros livres ). - Uma base conveniente de
é, por exemplo,
- Como
, segue . (Isto também confirma que os três vetores geradores de eram linearmente dependentes, e que uma base de teria 2 vetores.)
Passo 5
Agora testamos as alternativas: para um vetor
pertencer a
ele precisa satisfazer
e
(essas duas igualdades vêm de
e
). Além disso, uma base de
precisa ter exatamente 2 vetores linearmente independentes.
Verifico as alternativas que possuem dois vetores candidatos e, em particular, testarei a alternativa que parece plausível.
Examino os vetores da alternativa (D):
Checar as condições:
- Para
: , então e está ok; e está ok. Logo . - Para
: , então e está ok; e está ok. Logo .
Agora verifico independência linear entre
e
. Se fossem dependentes um seria múltiplo escalar do outro. Comparando as primeiras coordenadas:
e
indicam possível razão
. Mas multiplicando
por
dá
, que não é
. Então não são múltiplos um do outro, portanto são linearmente independentes. Como são 2 vetores independentes em um espaço de dimensão
, formam uma base de
.
Passo 6
Para deixar claro por eliminação (rápido):
- Qualquer alternativa que contenha um vetor que não satisfaça
e não pode estar totalmente em . - Alternativas com apenas um vetor (opções com um elemento) não podem ser base porque
. - Assim a alternativa (D) é a única que apresenta dois vetores pertencentes a
e independentes, logo é correta.
Resposta
(D)