Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por:
H=\operatorname{span}\{(0,2,-1,0),(0,0,1,-2),(0,-8,0,8)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(-4,3,2,2),(4,3,4,4)\}
(B) \{(-4,3,2,2),(-3,3,6,3)\}
(C) \{(-4,3,2,2)\}
(D) \{(-1,2,4,2),(-3,3,6,3)\}
(E) \{(4,3,4,4)\}
(F) \{(-3,3,6,3)\}
(G) \{(-1,2,4,2),(4,3,4,4)\}
(H) \{(-1,2,4,2)\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço H\subset\mathbb{R}^4 gerado por três vetores e pede: qual dos conjuntos listados é uma base de H^{\perp} (o complemento ortogonal de H)?
Informações fornecidas:
  • H=\operatorname{span}\{(0,2,-1,0),\;(0,0,1,-2),\;(0,-8,0,8)\}.
  • As alternativas oferecem vários conjuntos de vetores de \mathbb{R}^4 e devemos escolher qual (se houver) é uma base de H^{\perp}.
O que é pedido:
  • Identificar, entre as alternativas (A)–(H), qual conjunto é uma base de H^{\perp}.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa estar em H^{\perp} e como encontrar H^{\perp} na prática (aula rápida e direta):
  • Definição prática: um vetor w\in\mathbb{R}^4 pertence a H^{\perp} se e somente se w é ortogonal a todos os geradores de H. Ou seja, se v_1,v_2,v_3 são os vetores geradores, então w\in H^{\perp} quando
w\cdot v_1=0,\qquad w\cdot v_2=0,\qquad w\cdot v_3=0.
  • Produto interno (produto escalar) em \mathbb{R}^4: para w=(a,b,c,d) e v=(v_1,v_2,v_3,v_4) vale
w\cdot v = a v_1 + b v_2 + c v_3 + d v_4.
Método que vou usar: escrever as três equações lineares w\cdot(\cdot)=0 usando um vetor genérico w=(a,b,c,d), resolver o sistema e obter a descrição de H^{\perp}. Isso também dará a dimensão de H^{\perp} e uma base natural.

Passo 3

Escrevo w=(a,b,c,d) e imponho ortogonalidade com cada gerador de H.
Os geradores são:
v_1=(0,2,-1,0),\quad v_2=(0,0,1,-2),\quad v_3=(0,-8,0,8).
Escrever as equações w\cdot v_i=0:
Com v_1:
w\cdot v_1 = 0\cdot a + 2b + (-1)c + 0\cdot d = 2b - c = 0.
Logo
c = 2b.
Com v_2:
w\cdot v_2 = 0\cdot a + 0\cdot b + 1\cdot c + (-2)d = c - 2d = 0.
Logo
c = 2d.
Com v_3:
w\cdot v_3 = 0\cdot a + (-8)b + 0\cdot c + 8d = -8b + 8d = 0.
Logo
d = b.
Agora juntando:
  • de c=2b e c=2d obtemos 2b=2d então b=d (coerente com a terceira equação).
  • Portanto as relações são c=2b e d=b, enquanto a permanece livre.
Assim a solução geral para w\in H^{\perp} é
w=(a,b,2b,b)=a(1,0,0,0)+b(0,1,2,1),
onde a,b\in\mathbb{R} são parâmetros livres.

Passo 4

Consequências importantes (guia de prova rápida na hora):
  • A descrição w=(a,b,2b,b) mostra que \dim H^{\perp}=2 (dois parâmetros livres a,b).
  • Uma base conveniente de H^{\perp} é, por exemplo,
\{(1,0,0,0),\;(0,1,2,1)\}.
  • Como \dim\mathbb{R}^4=4, segue \dim H = 4 - \dim H^{\perp} = 2. (Isto também confirma que os três vetores geradores de H eram linearmente dependentes, e que uma base de H teria 2 vetores.)

Passo 5

Agora testamos as alternativas: para um vetor (x_1,x_2,x_3,x_4) pertencer a H^{\perp} ele precisa satisfazer x_3=2x_2 e x_4=x_2 (essas duas igualdades vêm de c=2b e d=b). Além disso, uma base de H^{\perp} precisa ter exatamente 2 vetores linearmente independentes.
Verifico as alternativas que possuem dois vetores candidatos e, em particular, testarei a alternativa que parece plausível.
Examino os vetores da alternativa (D):
u_1 = (-1,2,4,2),\qquad u_2 = (-3,3,6,3).
Checar as condições:
  • Para u_1: x_2=2, então 2x_2=4 e x_3=4 está ok; x_4=2 e x_4=x_2 está ok. Logo u_1\in H^{\perp}.
  • Para u_2: x_2=3, então 2x_2=6 e x_3=6 está ok; x_4=3 e x_4=x_2 está ok. Logo u_2\in H^{\perp}.
Agora verifico independência linear entre u_1 e u_2. Se fossem dependentes um seria múltiplo escalar do outro. Comparando as primeiras coordenadas: -1 e -3 indicam possível razão 3. Mas multiplicando u_1 por 3 (-3,6,12,6), que não é u_2. Então não são múltiplos um do outro, portanto são linearmente independentes. Como são 2 vetores independentes em um espaço de dimensão 2, formam uma base de H^{\perp}.

Passo 6

Para deixar claro por eliminação (rápido):
  • Qualquer alternativa que contenha um vetor que não satisfaça x_3=2x_2 e x_4=x_2 não pode estar totalmente em H^{\perp}.
  • Alternativas com apenas um vetor (opções com um elemento) não podem ser base porque \dim H^{\perp}=2.
  • Assim a alternativa (D) é a única que apresenta dois vetores pertencentes a H^{\perp} e independentes, logo é correta.

Resposta

(D)

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