Q12: Sejam
e
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
Passo 1
O enunciado fornece:
- O vetor
. - O subespaço
.
O que é pedido:
- Calcular
, a projeção ortogonal de sobre . - Determinar
, a terceira entrada de . - Existe uma lista de opções; preciso indicar qual corresponde ao valor de
.
Passo 2
Ideia útil (explicação didática): qualquer vetor
em
pode ser escrito como soma
onde
e
(isto é,
é ortogonal a todo vetor de
). A projeção de
sobre
é justamente
. Portanto, se conseguimos achar
(a componente de
em
), obtemos
Isto é geralmente mais fácil quando
é de dimensão
, porque então
é um múltiplo de um vetor normal a
.
(Comentário curto sobre conceitos para fixar: o subespaço ortogonal
é o conjunto de vetores que são ortogonais a todos os vetores de
. Para um hiperplano definido por uma equação linear como essa,
é gerado pelo vetor normal da equação.)
Passo 3
Identificar o vetor normal de
. A equação de
é
portanto um vetor normal é
Logo
. Isso confirma que
tem dimensão
e que qualquer
tem a forma
para algum escalar
.
Passo 4
Fórmula da projeção de
sobre a reta gerada por
: se
é a projeção de
em
, então
onde
denota o produto interno (produto escalar). Explicando esse passo: o coeficiente escalar é escolhido de forma que
seja ortogonal a
, isto é
, levando à fórmula acima.
Passo 5
Calcular os produtos escalares necessários. Primeiro
Façamos as somas passo a passo:
Somando:
Agora
Portanto o coeficiente é
Passo 6
Como o coeficiente é
, a projeção de
sobre
é simplesmente
.
Então a projeção de
sobre
é
Subtraindo coordenada a coordenada:
Calcule cada entrada:
Portanto
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): verificar que
pertence a
calculando
com as entradas de
:
logo
, como esperado.
Resposta
(F) 6