Q12: Sejam \vec{v}=(-11,-2,8,4) e
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-3 y+2 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\text {a }} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} em H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8

Passo 1

O enunciado fornece:
  • O vetor \vec{v} = (-11,-2,8,4).
  • O subespaço H = \{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x-3y+2z+w=0\}.
O que é pedido:
  • Calcular \vec{w}=P_{H}\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
  • Determinar w_{3}, a terceira entrada de \vec{w}.
  • Existe uma lista de opções; preciso indicar qual corresponde ao valor de w_{3}.

Passo 2

Ideia útil (explicação didática): qualquer vetor \vec{v} em \mathbb{R}^4 pode ser escrito como soma
\vec{v}=\vec{w}+\vec{u},
onde \vec{w}\in H e \vec{u}\in H^{\perp} (isto é, \vec{u} é ortogonal a todo vetor de H). A projeção de \vec{v} sobre H é justamente \vec{w}. Portanto, se conseguimos achar \vec{u} (a componente de \vec{v} em H^{\perp}), obtemos
\vec{w}=\vec{v}-\vec{u}.
Isto é geralmente mais fácil quando H^{\perp} é de dimensão 1, porque então \vec{u} é um múltiplo de um vetor normal a H.
(Comentário curto sobre conceitos para fixar: o subespaço ortogonal H^{\perp} é o conjunto de vetores que são ortogonais a todos os vetores de H. Para um hiperplano definido por uma equação linear como essa, H^{\perp} é gerado pelo vetor normal da equação.)

Passo 3

Identificar o vetor normal de H. A equação de H é
x-3y+2z+w=0,
portanto um vetor normal é
\vec{n}=(1,-3,2,1).
Logo H^{\perp}=\operatorname{span}\{\vec{n}\}. Isso confirma que H^{\perp} tem dimensão 1 e que qualquer \vec{u}\in H^{\perp} tem a forma \vec{u}=t\vec{n} para algum escalar t.

Passo 4

Fórmula da projeção de \vec{v} sobre a reta gerada por \vec{n}: se \vec{u} é a projeção de \vec{v} em \operatorname{span}\{\vec{n}\}, então
\vec{u}=\frac{\langle\vec{v},\vec{n}\rangle}{\langle\vec{n},\vec{n}\rangle}\,\vec{n},
onde \langle\cdot,\cdot\rangle denota o produto interno (produto escalar). Explicando esse passo: o coeficiente escalar é escolhido de forma que \vec{v}-\vec{u} seja ortogonal a \vec{n}, isto é \langle \vec{v}-\vec{u},\vec{n}\rangle=0, levando à fórmula acima.

Passo 5

Calcular os produtos escalares necessários. Primeiro
\langle\vec{v},\vec{n}\rangle = (-11)\cdot 1 + (-2)\cdot(-3) + 8\cdot 2 + 4\cdot 1.
Façamos as somas passo a passo:
(-11)\cdot 1 = -11,
(-2)\cdot(-3)=6,
8\cdot 2=16,
4\cdot 1=4.
Somando:
\langle\vec{v},\vec{n}\rangle = -11+6+16+4 = 15.
Agora
\langle\vec{n},\vec{n}\rangle = 1^2 + (-3)^2 + 2^2 + 1^2 = 1+9+4+1 = 15.
Portanto o coeficiente é
\frac{\langle\vec{v},\vec{n}\rangle}{\langle\vec{n},\vec{n}\rangle}=\frac{15}{15}=1.

Passo 6

Como o coeficiente é 1, a projeção de \vec{v} sobre H^{\perp} é simplesmente \vec{u}=1\cdot\vec{n}=\vec{n}=(1,-3,2,1).
Então a projeção de \vec{v} sobre H é
\vec{w}=\vec{v}-\vec{u}.
Subtraindo coordenada a coordenada:
\vec{w}=(-11,-2,8,4)-(1,-3,2,1).
Calcule cada entrada:
w_1 = -11-1 = -12,
w_2 = -2-(-3) = -2+3 = 1,
w_3 = 8-2 = 6,
w_4 = 4-1 = 3.
Portanto
\vec{w}=(-12,1,6,3).

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): verificar que \vec{w} pertence a H calculando x-3y+2z+w com as entradas de \vec{w}:
(-12)-3\cdot 1 + 2\cdot 6 + 3 = -12-3+12+3 = 0,
logo \vec{w}\in H, como esperado.

Resposta

(F) 6

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