Q12: Sejam
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
0 valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
0 valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede a projeção ortogonal
de sobre o subespaço , e especificamente o valor da terceira componente de . - Vetor dado:
. - Subespaço dado:
. - Observação importante (dada como dica): projetar em
(o complementar ortogonal) e subtrair de para obter a projeção em é mais fácil. Ainda não calculamos nada; só organizamos as informações.
Passo 2
Por que projetar em
é mais fácil:
- A projeção ortogonal de
sobre é dada por
ou seja, subtraímos de
a sua componente na direção ortogonal a
.
- Como
é o conjunto de vetores ortogonais ao vetor normal da equação, é a linha (subespaço gerado) pelo vetor normal. Projetar sobre uma linha é uma fórmula direta e simples. Então vamos achar o vetor normal e projetar sobre ele.
Passo 3
Encontrar o vetor normal a
:
- A equação de
é . Os coeficientes formam um vetor normal:
- Portanto
, ou seja, todos os múltiplos escalares de .
Passo 4
Fórmula da projeção de um vetor sobre uma reta gerada por
:
- A projeção ortogonal de
em (a reta gerada por ) é
- Aqui
é o produto escalar padrão (soma das componentes multiplicadas): se e então . - Explicando as variáveis:
é um número real; é o quadrado da norma de ; o quociente é a escala que multiplica para obter a componente de na direção de .
Passo 5
Calcular
componente a componente:
Agora cada termo:
Somando:
Passo 6
Calcular
(soma dos quadrados das componentes de
):
Passo 7
Obter
usando a fórmula:
Portanto
Passo 8
Calcular
componente a componente:
Subtraindo cada componente:
Logo
.
Passo 9
Resposta pedida: a terceira entrada
de
é
. Isso corresponde à alternativa (C).
Resposta
(C) 3