Q12: Sejam \vec{v}=(0,-2,9,-1) \mathrm{e}
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-2 y+3 z+w=0\right\}
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
0 valor de w_{3}, a 3^{a} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} \mathrm{em} H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede a projeção ortogonal \vec{w}=P_{H}\vec{v} de \vec{v} sobre o subespaço H, e especificamente o valor da terceira componente w_{3} de \vec{w}.
  • Vetor dado: \vec{v}=(0,-2,9,-1).
  • Subespaço dado: H=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^{4}\mid x-2y+3z+w=0\}.
  • Observação importante (dada como dica): projetar em H^{\perp} (o complementar ortogonal) e subtrair de \vec{v} para obter a projeção em H é mais fácil. Ainda não calculamos nada; só organizamos as informações.

Passo 2

Por que projetar em H^{\perp} é mais fácil:
  • A projeção ortogonal de \vec{v} sobre H é dada por
\vec{w}=P_{H}\vec{v}=\vec{v}-P_{H^{\perp}}\vec{v},
ou seja, subtraímos de \vec{v} a sua componente na direção ortogonal a H.
  • Como H é o conjunto de vetores ortogonais ao vetor normal da equação, H^{\perp} é a linha (subespaço gerado) pelo vetor normal. Projetar sobre uma linha é uma fórmula direta e simples. Então vamos achar o vetor normal e projetar sobre ele.

Passo 3

Encontrar o vetor normal a H:
  • A equação de H é x-2y+3z+w=0. Os coeficientes formam um vetor normal:
\vec{n}=(1,-2,3,1).
  • Portanto H^{\perp}=\text{span}\{\vec{n}\}, ou seja, todos os múltiplos escalares de \vec{n}.

Passo 4

Fórmula da projeção de um vetor sobre uma reta gerada por \vec{n}:
  • A projeção ortogonal de \vec{v} em H^{\perp} (a reta gerada por \vec{n}) é
P_{H^{\perp}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n}.
  • Aqui \vec{v}\cdot\vec{n} é o produto escalar padrão (soma das componentes multiplicadas): se \vec{a}=(a_1,a_2,\dots) e \vec{b}=(b_1,b_2,\dots) então \vec{a}\cdot\vec{b}=\sum a_i b_i.
  • Explicando as variáveis: \vec{v}\cdot\vec{n} é um número real; \vec{n}\cdot\vec{n} é o quadrado da norma de \vec{n}; o quociente é a escala que multiplica \vec{n} para obter a componente de \vec{v} na direção de \vec{n}.

Passo 5

Calcular \vec{v}\cdot\vec{n} componente a componente:
\vec{v}\cdot\vec{n}= (0)\cdot(1)+(-2)\cdot(-2)+9\cdot3+(-1)\cdot1.
Agora cada termo:
0\cdot1=0,\quad (-2)(-2)=4,\quad 9\cdot3=27,\quad (-1)\cdot1=-1.
Somando:
\vec{v}\cdot\vec{n}=0+4+27-1=30.

Passo 6

Calcular \vec{n}\cdot\vec{n} (soma dos quadrados das componentes de \vec{n}):
\vec{n}\cdot\vec{n}=1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}+1^{2}=1+4+9+1=15.

Passo 7

Obter P_{H^{\perp}}\vec{v} usando a fórmula:
P_{H^{\perp}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n}=\frac{30}{15}\,\vec{n}=2\vec{n}.
Portanto
P_{H^{\perp}}\vec{v}=2(1,-2,3,1)=(2,-4,6,2).

Passo 8

Calcular \vec{w}=P_{H}\vec{v}=\vec{v}-P_{H^{\perp}}\vec{v} componente a componente:
\vec{w}=(0,-2,9,-1)-(2,-4,6,2).
Subtraindo cada componente:
w_{1}=0-2=-2,\quad w_{2}=-2-(-4)=-2+4=2,
w_{3}=9-6=3,\quad w_{4}=-1-2=-3.
Logo \vec{w}=(-2,2,3,-3).

Passo 9

Resposta pedida: a terceira entrada w_{3} de \vec{w} é \,3. Isso corresponde à alternativa (C).

Resposta

(C) 3

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