Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por: H=\operatorname{span}\{(0,1,0,-2),(0,-1,2,0),(0,5,-6,-4)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(4,-2,-2,3)\}
(B) \{(4,2,2,-2)\}
(C) \{(-1,2,1,1),(4,-2,-2,3)\}
(D) \{(-1,2,1,1)\}
(E) \{(2,6,3,3)\}
(F) \{(4,2,2,-2),(4,-2,-2,3)\}
(G) \{(-1,2,1,1),(2,6,3,3)\}
(H) \{(4,2,2,-2),(2,6,3,3)\}
Passo 1
O enunciado dá o subespaço H\subset\mathbb{R}^4 gerado por três vetores e pede qual dos conjuntos listados é uma base de H^{\perp}. Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
Pergunta: qual opção dentre (A)–(H) é uma base de H^{\perp} (o complemento ortogonal de H)?
Passo 2
O que significa H^{\perp}: é o conjunto de todos os vetores x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 que são ortogonais a todos os geradores de H. Isto se traduz nas equações de produto interno:
Agora substituímos (1) em (2) e depois em (3). Pela (1) temos x_2=2x_4. Substituindo em (2):
x_3 = \tfrac{x_2}{2} = \tfrac{2x_4}{2} = x_4.
Então x_3 = x_4. Substituindo x_2=2x_4 e x_3=x_4 em (3):
5(2x_4) -6(x_4) -4x_4 = 10x_4 -6x_4 -4x_4 = 0,
ou seja, a equação (3) é satisfeita automaticamente — ela é redundante dado (1) e (2). Conclusão: as restrições são apenas
x_2 = 2x_4,\qquad x_3 = x_4,
enquanto x_1 fica livre.
Passo 5
Parametrizamos a solução. Tomemos parâmetros s e t com s=x_1 e t=x_4. Então todo vetor em H^{\perp} tem a forma
x = (s,\;2t,\;t,\;t) = s(1,0,0,0) + t(0,2,1,1).
Isto mostra duas coisas importantes:
O espaço H^{\perp} tem dimensão 2 (dois parâmetros livres s,t).
Um par de vetores simples que formam uma base é
b_1=(1,0,0,0),\qquad b_2=(0,2,1,1).
Qualquer vetor de H^{\perp} é combinação linear desses.
Passo 6
Para que um conjunto seja base de H^{\perp} ele precisa (i) pertencer a H^{\perp} (cada vetor ser ortogonal a v_1,v_2,v_3) e (ii) ser formado por dois vetores linearmente independentes (pois \dim H^{\perp}=2). Assim podemos testar as opções verificando se os vetores satisfazem o padrão (x_1,2x_4,x_4,x_4).
Verificações rápidas (uso direto do padrão x=(s,2t,t,t)):
(-1,2,1,1): aqui x_2=2 e x_4=1 → 2x_4=2 OK; x_3=1=x_4 OK. Logo (-1,2,1,1)\in H^{\perp}.
(2,6,3,3): x_4=3 → 2x_4=6=x_2 e x_3=3=x_4. Logo (2,6,3,3)\in H^{\perp}.
(4,-2,-2,3): aqui x_4=3 → 2x_4=6 mas x_2=-2, não bate. Logo (4,-2,-2,3)\notin H^{\perp}.
(4,2,2,-2): aqui x_4=-2 → 2x_4=-4 mas x_2=2, não bate. Logo (4,2,2,-2)\notin H^{\perp}.
Com isso vemos que muitas opções contendo (4,-2,-2,3) ou (4,2,2,-2) falham já na condição de pertencer a H^{\perp}. Opções com um único vetor pertencente a H^{\perp} (por exemplo D ou E) não podem ser base porque precisam de dois vetores independentes.
Passo 7
Fica natural checar a opção (G): \{(-1,2,1,1),(2,6,3,3)\}. Já mostramos que ambos estão em H^{\perp}. Resta verificar independência linear: suponha que existam escalares a,b tais que
a(-1,2,1,1) + b(2,6,3,3) = (0,0,0,0).
Olhemos as componentes:
primeira comp.: -a + 2b = 0 → a = 2b.
segunda comp.: 2a + 6b = 0. Substituindo a=2b dá 2(2b) + 6b = 10b = 0 → b=0 → a=0.
Portanto são linearmente independentes. Duas vetores independentes em um espaço de dimensão 2 formam base. Logo a opção (G) é uma base de H^{\perp}.
Passo 8
Resumo das eliminações: qualquer conjunto com um vetor que não satisfaça x_2=2x_4,\;x_3=x_4 é descartado. Conjuntos unitários (apenas um vetor) são descartados porque \dim H^{\perp}=2. A única opção que sobrou e que atende às duas condições (pertencem a H^{\perp} e são independentes) é a opção (G).