Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por:
H=\operatorname{span}\{(0,1,0,-2),(0,-1,2,0),(0,5,-6,-4)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(4,-2,-2,3)\}
(B) \{(4,2,2,-2)\}
(C) \{(-1,2,1,1),(4,-2,-2,3)\}
(D) \{(-1,2,1,1)\}
(E) \{(2,6,3,3)\}
(F) \{(4,2,2,-2),(4,-2,-2,3)\}
(G) \{(-1,2,1,1),(2,6,3,3)\}
(H) \{(4,2,2,-2),(2,6,3,3)\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço H\subset\mathbb{R}^4 gerado por três vetores e pede qual dos conjuntos listados é uma base de H^{\perp}. Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
v_1=(0,1,0,-2),\qquad v_2=(0,-1,2,0),\qquad v_3=(0,5,-6,-4).
Pergunta: qual opção dentre (A)–(H) é uma base de H^{\perp} (o complemento ortogonal de H)?

Passo 2

O que significa H^{\perp}: é o conjunto de todos os vetores x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 que são ortogonais a todos os geradores de H. Isto se traduz nas equações de produto interno:
x\cdot v_1=0,\qquad x\cdot v_2=0,\qquad x\cdot v_3=0.
Lembrete rápido (aula curta): o produto interno entre x e v=(v_1,v_2,v_3,v_4) é
x\cdot v = x_1v_1 + x_2v_2 + x_3v_3 + x_4v_4.
Portanto, vamos escrever as três equações explicitas usando v_1,v_2,v_3.

Passo 3

Escrevendo as equações x\cdot v_i=0:
Para v_1=(0,1,0,-2):
x\cdot v_1 = 0\cdot x_1 + 1\cdot x_2 + 0\cdot x_3 + (-2)\cdot x_4 = x_2 - 2x_4 = 0.
Logo
x_2 = 2x_4. \tag{1}
Para v_2=(0,-1,2,0):
x\cdot v_2 = 0\cdot x_1 + (-1)\cdot x_2 + 2\cdot x_3 + 0\cdot x_4 = -x_2 + 2x_3 = 0.
Logo
2x_3 = x_2 \quad\Rightarrow\quad x_3 = \tfrac{x_2}{2}. \tag{2}
Para v_3=(0,5,-6,-4):
x\cdot v_3 = 0\cdot x_1 + 5x_2 -6x_3 -4x_4 = 0. \tag{3}

Passo 4

Agora substituímos (1) em (2) e depois em (3). Pela (1) temos x_2=2x_4. Substituindo em (2):
x_3 = \tfrac{x_2}{2} = \tfrac{2x_4}{2} = x_4.
Então x_3 = x_4. Substituindo x_2=2x_4 e x_3=x_4 em (3):
5(2x_4) -6(x_4) -4x_4 = 10x_4 -6x_4 -4x_4 = 0,
ou seja, a equação (3) é satisfeita automaticamente — ela é redundante dado (1) e (2). Conclusão: as restrições são apenas
x_2 = 2x_4,\qquad x_3 = x_4,
enquanto x_1 fica livre.

Passo 5

Parametrizamos a solução. Tomemos parâmetros s e t com s=x_1 e t=x_4. Então todo vetor em H^{\perp} tem a forma
x = (s,\;2t,\;t,\;t) = s(1,0,0,0) + t(0,2,1,1).
Isto mostra duas coisas importantes:
  • O espaço H^{\perp} tem dimensão 2 (dois parâmetros livres s,t).
  • Um par de vetores simples que formam uma base é
b_1=(1,0,0,0),\qquad b_2=(0,2,1,1).
Qualquer vetor de H^{\perp} é combinação linear desses.

Passo 6

Para que um conjunto seja base de H^{\perp} ele precisa (i) pertencer a H^{\perp} (cada vetor ser ortogonal a v_1,v_2,v_3) e (ii) ser formado por dois vetores linearmente independentes (pois \dim H^{\perp}=2). Assim podemos testar as opções verificando se os vetores satisfazem o padrão (x_1,2x_4,x_4,x_4).
Verificações rápidas (uso direto do padrão x=(s,2t,t,t)):
  • (-1,2,1,1): aqui x_2=2 e x_4=1 2x_4=2 OK; x_3=1=x_4 OK. Logo (-1,2,1,1)\in H^{\perp}.
  • (2,6,3,3): x_4=3 2x_4=6=x_2 e x_3=3=x_4. Logo (2,6,3,3)\in H^{\perp}.
  • (4,-2,-2,3): aqui x_4=3 2x_4=6 mas x_2=-2, não bate. Logo (4,-2,-2,3)\notin H^{\perp}.
  • (4,2,2,-2): aqui x_4=-2 2x_4=-4 mas x_2=2, não bate. Logo (4,2,2,-2)\notin H^{\perp}.
Com isso vemos que muitas opções contendo (4,-2,-2,3) ou (4,2,2,-2) falham já na condição de pertencer a H^{\perp}. Opções com um único vetor pertencente a H^{\perp} (por exemplo D ou E) não podem ser base porque precisam de dois vetores independentes.

Passo 7

Fica natural checar a opção (G): \{(-1,2,1,1),(2,6,3,3)\}. Já mostramos que ambos estão em H^{\perp}. Resta verificar independência linear: suponha que existam escalares a,b tais que
a(-1,2,1,1) + b(2,6,3,3) = (0,0,0,0).
Olhemos as componentes:
primeira comp.: -a + 2b = 0 a = 2b.
segunda comp.: 2a + 6b = 0. Substituindo a=2b 2(2b) + 6b = 10b = 0 b=0 a=0.
Portanto são linearmente independentes. Duas vetores independentes em um espaço de dimensão 2 formam base. Logo a opção (G) é uma base de H^{\perp}.

Passo 8

Resumo das eliminações: qualquer conjunto com um vetor que não satisfaça x_2=2x_4,\;x_3=x_4 é descartado. Conjuntos unitários (apenas um vetor) são descartados porque \dim H^{\perp}=2. A única opção que sobrou e que atende às duas condições (pertencem a H^{\perp} e são independentes) é a opção (G).

Resposta

(G)

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