Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 -2 18.6
-2 -5 12.5
-1 -2 2.5
0 -3 2.7
1 -2 3.3
2 -5 12.7
3 -2 19.1
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(9,9). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) 139.9
(B) 140.9
(C) 141.9
(D) 142.9
(E) 143.9
(F) 144.9
(G) 145.9
(H) 146.9

Passo 1

O enunciado nos dá o modelo \,Z=a x^{2}+b y+c\, e uma tabela com 7 medições (peguei os dados da tabela do enunciado). As perguntas são: ajustar os parâmetros \,a,b,c\, por mínimos quadrados usando as 7 medições e, em seguida, calcular o valor previsto de \,Z\, no ponto (x,y)=(9,9). Os dados (cada linha é (x,y,Z)) são:
(-3,-2,18{,}6),\;(-2,-5,12{,}5),\;(-1,-2,2{,}5),\;(0,-3,2{,}7), \;(1,-2,3{,}3),\;(2,-5,12{,}7),\;(3,-2,19{,}1).

Passo 2

Breve explicação do método (muito prática e direta): como o modelo é linear nos parâmetros \,a,b,c\, (mesmo sendo não-linear em x, pois tem x^2), podemos escrever o problema em forma matricial linear:
\mathbf{A}\,\boldsymbol{\theta}=\mathbf{z},
onde \boldsymbol{\theta}=\begin{pmatrix}a\\[2pt] b\\[2pt] c\end{pmatrix} e cada linha de \mathbf{A} é (x^{2},\,y,\,1) para cada medição, e \mathbf{z} é o vetor das medições de Z.
O ajuste de mínimos quadrados (minimizar soma dos quadrados dos resíduos) leva às equações normais:
\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}\,\boldsymbol{\theta}=\mathbf{A}^{T}\mathbf{z}.
Vamos calcular \mathbf{A}^{T}\mathbf{A} e \mathbf{A}^{T}\mathbf{z} explicitamente a partir dos dados e resolver o sistema linear resultante para \,a,b,c\,. Vou explicar cada soma que aparece.]

Passo 3

Construí a tabela intermediária com as colunas u=x^{2}, v=y e z=Z (dados retirados da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|c|c} u=x^{2} & v=y & z=Z\\hline 9 & -2 & 18{,}6\\\\ 4 & -5 & 12{,}5\\\\ 1 & -2 & 2{,}5\\\\ 0 & -3 & 2{,}7\\\\ 1 & -2 & 3{,}3\\\\ 4 & -5 & 12{,}7\\\\ 9 & -2 & 19{,}1 \end{array}

Passo 4

Agora calculo as somas necessárias (mostro cada soma e como foi obtida):
\begin{aligned} n&=7,\\[2pt] \sum u &=9+4+1+0+1+4+9=28,\\[2pt] \sum v &=-2-5-2-3-2-5-2=-21,\\[2pt] \sum z &=18{,}6+12{,}5+2{,}5+2{,}7+3{,}3+12{,}7+19{,}1=71{,}4,\\[2pt] \sum u^{2} &=9^{2}+4^{2}+1^{2}+0^{2}+1^{2}+4^{2}+9^{2}=81+16+1+0+1+16+81=196,\\[2pt] \sum v^{2} &=(-2)^{2}+(-5)^{2}+(-2)^{2}+(-3)^{2}+(-2)^{2}+(-5)^{2}+(-2)^{2}=75,\\[2pt] \sum uv &=9(-2)+4(-5)+1(-2)+0(-3)+1(-2)+4(-5)+9(-2)=-80,\\[2pt] \sum u z &=9\cdot18{,}6+4\cdot12{,}5+1\cdot2{,}5+0\cdot2{,}7+1\cdot3{,}3+4\cdot12{,}7+9\cdot19{,}1=445{,}9,\\[2pt] \sum v z &=(-2)\cdot18{,}6+(-5)\cdot12{,}5+(-2)\cdot2{,}5+(-3)\cdot2{,}7+(-2)\cdot3{,}3+(-5)\cdot12{,}7+(-2)\cdot19{,}1=-221{,}1. \end{aligned}]

Passo 5

Com essas somas, escrevo as equações normais na forma matricial (mostro a matriz \mathbf{A}^{T}\mathbf{A} e o vetor \mathbf{A}^{T}\mathbf{z}):
\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}= \begin{pmatrix} \sum u^{2} & \sum uv & \sum u\\[4pt] \sum uv & \sum v^{2} & \sum v\\[4pt] \sum u & \sum v & n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 196 & -80 & 28\\[4pt] -80 & 75 & -21\\[4pt] 28 & -21 & 7 \end{pmatrix},
\mathbf{A}^{T}\mathbf{z}= \begin{pmatrix} \sum u z\\[4pt] \sum v z\\[4pt] \sum z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 445{,}9\\[4pt] -221{,}1\\[4pt] 71{,}4 \end{pmatrix}.
O sistema a resolver é
\begin{pmatrix} 196 & -80 & 28\\[4pt] -80 & 75 & -21\\[4pt] 28 & -21 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\[2pt] b\\[2pt] c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}445{,}9\\[4pt]-221{,}1\\[4pt]71{,}4\end{pmatrix}.]

Passo 6

Resolvo o sistema. Primeiro divido a terceira equação por 7 (simplifica muito):
a terceira linha dá
4a-3b+c=10{,}2.
Isolo c:
c=10{,}2-4a+3b.
Substituo essa expressão de c nas outras duas equações (passo padrão de eliminação por substituição).

Passo 7

Substituindo em \,196a-80b+28c=445{,}9\,:
196a-80b+28(10{,}2-4a+3b)=445{,}9.
Faço as multiplicações:
196a-80b+285{,}6-112a+84b=445{,}9.
Agrupando termos:
(196-112)a+(-80+84)b+285{,}6=445{,}9
84a+4b=160{,}3.
Dividindo por 4:
21a+b=40{,}075.
Assim
b=40{,}075-21a. \tag{I}

Passo 8

Agora substituo c em -80a+75b-21c=-221{,}1:
-80a+75b-21(10{,}2-4a+3b)=-221{,}1.
Multiplico e agrupo:
-80a+75b-214{,}2+84a-63b=-221{,}1,
4a+12b=-6{,}9.
Dividindo por 12 (ou reorganizando):
b=-0{,}575-\frac{1}{3}a. \tag{II}

Passo 9

Agora resolvo (I) e (II) em a. Igualando as duas expressões para b:
40{,}075-21a=-0{,}575-\frac{1}{3}a.
Somando 0{,}575 aos dois lados e somando 21a ao outro lado:
40{,}65=\left(21-\frac{1}{3}\right)a=\frac{62}{3}a.
Logo
a=\frac{40{,}65\cdot 3}{62}=\frac{121{,}95}{62}\approx 1{,}9669354839.
Com esse a, uso (II) para b:
b=-0{,}575-\frac{1}{3}a\approx -0{,}575-\frac{1{,}9669354839}{3}\approx -1{,}2306451613.
E volto à fórmula para c:
c=10{,}2-4a+3b\approx 10{,}2-4(1{,}9669354839)+3(-1{,}2306451613)\approx -1{,}3596774194.
Portanto, os parâmetros ajustados (com aproximação decente) são
a\approx 1{,}9669354839,\qquad b\approx -1{,}2306451613,\qquad c\approx -1{,}3596774194.

Passo 10

Finalmente, prevejo \,Z\, para (x,y)=(9,9) usando \,Z=a x^{2}+b y+c\,. Calculando passo a passo:
a x^{2}=a\cdot 9^{2}=a\cdot 81\approx 1{,}9669354839\cdot 81\approx 159{,}3217741935,
b y=b\cdot 9\approx -1{,}2306451613\cdot 9\approx -11{,}0758064517,
c\approx -1{,}3596774194.
Somando:
Z(9,9)\approx 159{,}3217741935-11{,}0758064517-1{,}3596774194\approx 146{,}8862903224.
Arredondando para a casa decimal usada nas alternativas, isso é aproximadamente \,146{,}9.

Resposta

(H) 146{,}9

Exercícios relacionados