Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores (4,-1,2,1) e (-2,-3,-4,5) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o intervalo em que está o ângulo \theta entre os vetores (4,-1,2,1) e (-2,-3,-4,5) em \mathbb{R}^{4}.
Informações dadas:
\;u=(4,-1,2,1) e \;v=(-2,-3,-4,5).
Pergunta: determinar em qual das alternativas (A)–(H) o valor de \theta se encaixa.

Passo 2

Fórmula básica (a que vamos usar): a relação entre produto escalar, normas e o cosseno do ângulo é
\cos\theta=\frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}.
Explicando cada coisa:
  • u\cdot v é o produto escalar em \mathbb{R}^{n}, que se calcula multiplicando componente a componente e somando: se u=(u_1,\dots,u_n) e v=(v_1,\dots,v_n), então u\cdot v=\sum_{i=1}^n u_i v_i.
  • \|u\| é a norma (comprimento) de u, dada por \|u\|=\sqrt{u_1^2+\dots+u_n^2}.
    No exame, memorize: produto escalar dá informação sobre ângulo (se é negativo, ângulo é maior que \pi/2; se positivo, menor que \pi/2). Para decidir em que intervalo está \theta podemos comparar o valor de \cos\theta com os cossenos dos limites dos intervalos.

Passo 3

Calcular o produto escalar u\cdot v componente a componente:
u\cdot v = 4\cdot(-2) + (-1)\cdot(-3) + 2\cdot(-4) + 1\cdot 5.
Agora as contas:
4\cdot(-2)=-8,\quad (-1)\cdot(-3)=3,\quad 2\cdot(-4)=-8,\quad 1\cdot5=5.
Somando:
u\cdot v = -8 + 3 - 8 + 5 = -8.

Passo 4

Calcular as normas \|u\| e \|v\|.
Para \|u\|:
\|u\|=\sqrt{4^2+(-1)^2+2^2+1^2}=\sqrt{16+1+4+1}=\sqrt{22}.
Para \|v\|:
\|v\|=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2+(-4)^2+5^2}=\sqrt{4+9+16+25}=\sqrt{54}.
Nota: \sqrt{54}=3\sqrt{6}, se quiser simplificar.

Passo 5

Aplicar a fórmula do cosseno:
\cos\theta=\frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}=\frac{-8}{\sqrt{22}\,\sqrt{54}}.
Simplificando o denominador:
\sqrt{22}\,\sqrt{54}=\sqrt{22\cdot 54}=\sqrt{1188}.
Fatorizando 1188: 1188=4\cdot27\cdot11=36\cdot33, então \sqrt{1188}=6\sqrt{33}. Assim
\cos\theta=\frac{-8}{6\sqrt{33}}=\frac{-4}{3\sqrt{33}}.

Passo 6

Calcular uma aproximação decimal para interpretar o ângulo:
\cos\theta\approx\frac{-4}{3\sqrt{33}}\approx -0{,}2322.
Como \cos\theta<0, sabemos que \theta está em (\pi/2,\pi]. Para identificar o subintervalo entre as opções, observe os cossenos das fronteiras úteis:
\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,\qquad \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2}=-0{,}5.
Nosso valor -0{,}2322 está entre 0 e -0{,}5, isto é
-0{,}5<\cos\theta<0.
Como \cos é decrescente em [0,\pi], isso corresponde a
\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{2\pi}{3}.
Logo \theta pertence ao intervalo \left(\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3}\right). A alternativa que cobre \frac{\pi}{2}<\theta\leqslant\frac{2\pi}{3} é a (E). (Mesmo que a desigualdade da alternativa permita igualdade no extremo superior, nosso valor é estritamente menor que 2\pi/3.)

Resposta

(E)

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