Q10: Seja
o ângulo entre os vetores
e
em
. Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o intervalo em que está o ângulo
entre os vetores
e
em
.
Informações dadas:
e
.
Pergunta: determinar em qual das alternativas (A)–(H) o valor de se encaixa.
Informações dadas:
Pergunta: determinar em qual das alternativas (A)–(H) o valor de
Passo 2
Fórmula básica (a que vamos usar): a relação entre produto escalar, normas e o cosseno do ângulo é
Explicando cada coisa:
-
é o produto escalar em , que se calcula multiplicando componente a componente e somando: se e , então . -
é a norma (comprimento) de , dada por .
No exame, memorize: produto escalar dá informação sobre ângulo (se é negativo, ângulo é maior que; se positivo, menor que ). Para decidir em que intervalo está podemos comparar o valor de com os cossenos dos limites dos intervalos.
Passo 3
Calcular o produto escalar
componente a componente:
Agora as contas:
Somando:
Passo 4
Calcular as normas
e
.
Para
:
Para
:
Nota:
, se quiser simplificar.
Passo 5
Aplicar a fórmula do cosseno:
Simplificando o denominador:
Fatorizando
:
, então
. Assim
Passo 6
Calcular uma aproximação decimal para interpretar o ângulo:
Como
, sabemos que
está em
. Para identificar o subintervalo entre as opções, observe os cossenos das fronteiras úteis:
Nosso valor
está entre
e
, isto é
Como
é decrescente em
, isso corresponde a
Logo
pertence ao intervalo
. A alternativa que cobre
é a (E). (Mesmo que a desigualdade da alternativa permita igualdade no extremo superior, nosso valor é estritamente menor que
.)
Resposta
(E)