Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 120 graus e uma reflexão T através do eixo x. A matrix que representa a transformação linear T R é:
(A) \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{cc}0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & 0 \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{array}\right]
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a matriz que representa a transformação linear T R em \mathbb{R}^2, onde
R é a rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por \,120^\circ.
T é a reflexão através do eixo x.
Informações relevantes dadas:
R:\text{ rotação de }120^\circ\quad\text{(anti-horário)}çãá
T:\text{ reflexão no eixo }xã
A tarefa é calcular a matriz da composição T\circ R (escrita como TR) e comparar com as alternativas dadas.
Passo 2
Entendendo a notação e a ordem: a composição T R significa primeiro aplicar R ao vetor e depois aplicar T ao resultado. Em termos de matrizes, a matriz da composição é o produto da matriz de T pela matriz de R:
\text{matriz}(T\circ R)= [T]\,[R].
Vou usar essa regra para calcular TR.
Passo 3
Fórmula da matriz de rotação: para uma rotação de ângulo \theta no sentido anti-horário, a matriz é
Aqui \cos\theta e \sin\theta são as funções trigonométricas padrão; a primeira linha mostra como as componentes x,y se misturam na projeção sobre o eixo x, e a segunda linha mostra a projeção sobre o eixo y.]
Explicando: aplicado a (x,y) dá (x,-y), por isso os elementos diagonais 1 e -1.]
Passo 6
Calcular o produto TR=[T][R]. Usarei a regra geral (AB)_{ij}=\sum_k A_{ik}B_{kj}, mas com T diagonal fica simples: multiplicar por T troca o sinal da segunda linha de R e mantém a primeira. Escrevendo explicitamente,