Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 120 graus e uma reflexão T através do eixo x. A matrix que representa a transformação linear T R é:
(A) \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{cc}0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & 0 \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a matriz que representa a transformação linear T R em \mathbb{R}^2, onde
  • R é a rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por \,120^\circ.
  • T é a reflexão através do eixo x.
Informações relevantes dadas:
R:\text{ rotação de }120^\circ\quad\text{(anti-horário)}çãá
T:\text{ reflexão no eixo }xã
A tarefa é calcular a matriz da composição T\circ R (escrita como TR) e comparar com as alternativas dadas.

Passo 2

Entendendo a notação e a ordem: a composição T R significa primeiro aplicar R ao vetor e depois aplicar T ao resultado. Em termos de matrizes, a matriz da composição é o produto da matriz de T pela matriz de R:
\text{matriz}(T\circ R)= [T]\,[R].
Vou usar essa regra para calcular TR.

Passo 3

Fórmula da matriz de rotação: para uma rotação de ângulo \theta no sentido anti-horário, a matriz é
\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
Aqui \cos\theta e \sin\theta são as funções trigonométricas padrão; a primeira linha mostra como as componentes x,y se misturam na projeção sobre o eixo x, e a segunda linha mostra a projeção sobre o eixo y.]

Passo 4

Calcular \cos e \sin para \theta=120^\circ:
\cos 120^\circ = \cos(180^\circ-60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\tfrac{1}{2},
\sin 120^\circ = \sin(180^\circ-60^\circ) = \sin 60^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Substituindo na fórmula da rotação,
R=\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] \tfrac{\sqrt{3}}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Matriz da reflexão T através do eixo x: a reflexão pelo eixo x mantém a coordenada x e inverte a coordenada y. Assim a matriz é
T=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
Explicando: aplicado a (x,y) (x,-y), por isso os elementos diagonais 1 e -1.]

Passo 6

Calcular o produto TR=[T][R]. Usarei a regra geral (AB)_{ij}=\sum_k A_{ik}B_{kj}, mas com T diagonal fica simples: multiplicar por T troca o sinal da segunda linha de R e mantém a primeira. Escrevendo explicitamente,
R=\begin{pmatrix} r_{11} & r_{12}\\[4pt] r_{21} & r_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] \tfrac{\sqrt{3}}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}, \qquad T=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
Então as entradas de TR são:
(TR)_{11}=1\cdot r_{11}+0\cdot r_{21}=r_{11}=-\tfrac{1}{2},
(TR)_{12}=1\cdot r_{12}+0\cdot r_{22}=r_{12}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2},
(TR)_{21}=0\cdot r_{11}+(-1)\cdot r_{21}=-r_{21}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2},
(TR)_{22}=0\cdot r_{12}+(-1)\cdot r_{22}=-r_{22}=-\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}.
Portanto
TR=\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] -\tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 7

Comparando com as alternativas fornecidas, a matriz obtida coincide com a alternativa (D).

Resposta

(D)

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