Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 60 graus e uma reflexão T através do eixo x. A matrix que representa a transformação linear T R é:
(A) \left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & 0 \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Dá duas transformações lineares em \mathbb{R}^2:
Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 60^\circ.
Uma reflexão T através do eixo x.
Pede a matriz que representa a transformação composta T R (isto é, aplicar R e em seguida T), e comparar com as alternativas dadas.
Passo 2
Matriz da rotação por um ângulo \theta:
Lembrete: a rotação no sentido anti-horário por \theta tem matriz
T R=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{array}\right].]
Passo 6
Verificação intuitiva (controle): aplicar R então T nas colunas da base canônica:
R(\mathbf{e}_1)=(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}) e T(R(\mathbf{e}_1))=(\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2}) → primeira coluna de TR.
R(\mathbf{e}_2)=(-\tfrac{\sqrt{3}}{2},\tfrac{1}{2}) e T(R(\mathbf{e}_2))=(-\tfrac{\sqrt{3}}{2},-\tfrac{1}{2}) → segunda coluna de TR.
Isso confere com o produto calculado.