Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 60 graus e uma reflexão T através do eixo x. A matrix que representa a transformação linear T R é:
(A) \left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & 0 \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá duas transformações lineares em \mathbb{R}^2:
    • Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 60^\circ.
    • Uma reflexão T através do eixo x.
  • Pede a matriz que representa a transformação composta T R (isto é, aplicar R e em seguida T), e comparar com as alternativas dadas.

Passo 2

Matriz da rotação por um ângulo \theta:
  • Lembrete: a rotação no sentido anti-horário por \theta tem matriz
R_\theta=\left[\begin{array}{cc} \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta \end{array}\right].
  • Aqui \theta=60^\circ. Como \cos60^\circ=\tfrac{1}{2} e \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, segue que
R=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right].
  • Interpretação prática: as colunas de R são as imagens dos vetores da base canônica \mathbf{e}_1 e \mathbf{e}_2 sob a rotação.]

Passo 3

Matriz da reflexão através do eixo x:
  • A reflexão no eixo x envia (x,y)\mapsto (x,-y). Logo a matriz é diagonal com 1 em x e -1 em y:
T=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 \end{array}\right].
  • Interpretação: a primeira coordenada fica igual, a segunda troca de sinal.]

Passo 4

Ordem da composição e produto de matrizes:
  • A notação T R significa a transformação que primeiro aplica R e depois aplica T. Para vetores \mathbf{v} isso é (T R)(\mathbf{v}) = T(R(\mathbf{v})).
  • Matricialmente, a matriz da composição é o produto T R (multiplicação usual de matrizes, primeiro R à direita, depois T à esquerda).

Passo 5

Cálculo do produto T R por entradas:
T R= \left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right].
Calcule entrada por entrada (linha \times coluna):
  • Entrada (1,1): 1\cdot\frac{1}{2}+0\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}.
  • Entrada (1,2): 1\cdot\big(-\frac{\sqrt{3}}{2}\big)+0\cdot\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
  • Entrada (2,1): 0\cdot\frac{1}{2}+(-1)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
  • Entrada (2,2): 0\cdot\big(-\frac{\sqrt{3}}{2}\big)+(-1)\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}.
Portanto
T R=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{array}\right].]

Passo 6

Verificação intuitiva (controle): aplicar R então T nas colunas da base canônica:
  • R(\mathbf{e}_1)=(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}) e T(R(\mathbf{e}_1))=(\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2}) → primeira coluna de TR.
  • R(\mathbf{e}_2)=(-\tfrac{\sqrt{3}}{2},\tfrac{1}{2}) e T(R(\mathbf{e}_2))=(-\tfrac{\sqrt{3}}{2},-\tfrac{1}{2}) → segunda coluna de TR.
    Isso confere com o produto calculado.

Resposta

(E)

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