Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por: H=\operatorname{span}\{(0,0,3,-1),(-3,0,0,1),(12,0,-12,0)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(1,2,1,3)\}
(B) \{(3,-4,3,3),(-4,4,4,-4)\}
(C) \{(3,-4,3,3)\}
(D) \{(1,4,1,3)\}
(E) \{(1,2,1,3),(-4,4,4,-4)\}
(F) \{(-4,4,4,-4)\}
(G) \{(1,2,1,3),(1,4,1,3)\}
(H) \{(3,-4,3,3),(1,4,1,3)\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} gerado por três vetores:
H=\operatorname{span}\{(0,0,3,-1),\;(-3,0,0,1),\;(12,0,-12,0)\}.
A pergunta é: qual dos conjuntos listados nas alternativas é uma base de H^{\perp} (o complemento ortogonal de H)?
Informações relevantes fornecidas:
u_{1}=(0,0,3,-1),\qquad u_{2}=(-3,0,0,1),\qquad u_{3}=(12,0,-12,0).
Precisamos determinar H^{\perp}=\{x\in\mathbb{R}^{4}\mid x\cdot u=0\\ \text{para todo}\\ u\in H\} e, a partir disso, verificar qual alternativa apresenta uma base de H^{\perp}.

Passo 2

Definição e estratégia: H^{\perp} consiste dos vetores x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) que são ortogonais a cada gerador de H. A ortogonalidade é dada pelo produto escalar em \mathbb{R}^{4}:
x\cdot u = x_{1}u_{1}+x_{2}u_{2}+x_{3}u_{3}+x_{4}u_{4}.
Logo, para encontrar H^{\perp} basta resolver o sistema linear formado pelas equações x\cdot u_{1}=0, x\cdot u_{2}=0 e x\cdot u_{3}=0. Vou escrever essas três equações explicitamente e resolvê-las passo a passo.

Passo 3

Escrevendo as equações x\cdot u_{i}=0 para x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}):
Produto com u_{1}=(0,0,3,-1):
x\cdot u_{1}=0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+3\cdot x_{3}+(-1)\cdot x_{4}=3x_{3}-x_{4}=0.
Produto com u_{2}=(-3,0,0,1):
x\cdot u_{2}=-3x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}+1\cdot x_{4}=-3x_{1}+x_{4}=0.
Produto com u_{3}=(12,0,-12,0):
x\cdot u_{3}=12x_{1}+0\cdot x_{2}-12x_{3}+0\cdot x_{4}=12(x_{1}-x_{3})=0.
Portanto o sistema é
\begin{cases} 3x_{3}-x_{4}=0,\\[4pt] -3x_{1}+x_{4}=0,\\[4pt] x_{1}-x_{3}=0. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo:
Da terceira equação temos
x_{1}=x_{3}.
Usando isso na primeira equação 3x_{3}-x_{4}=0
x_{4}=3x_{3}.
Usando x_{1}=x_{3} na segunda equação -3x_{1}+x_{4}=0 obtemos
-3x_{3}+x_{4}=0,
que é a mesma relação que já tínhamos da primeira equação, portanto as três equações são consistentes entre si.
Concluímos:
x_{1}=x_{3}=t,\qquad x_{4}=3t,
onde t\in\mathbb{R} é um parâmetro livre, e x_{2} não aparece em nenhuma equação, logo é outro parâmetro livre; chame-o de s\in\mathbb{R}. Assim
x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(t,s,t,3t)=t(1,0,1,3)+s(0,1,0,0).

Passo 5

Da parametrização obtemos imediatamente uma base natural de H^{\perp}:
(1,0,1,3)\quad\text{e}\quad(0,1,0,0).
Esses dois vetores são linearmente independentes (um tem componente x_{2}=0, o outro tem x_{2}=1), e qualquer vetor de H^{\perp} é combinação linear deles. Portanto \dim H^{\perp}=2 e uma base explícita é
\{(1,0,1,3),\;(0,1,0,0)\}.

Passo 6

Agora verifico as alternativas. Observação geral: uma base de H^{\perp} deve ter exatamente dois vetores (pois \dim H^{\perp}=2). Portanto qualquer alternativa com apenas um vetor (A, C, D, F) está automaticamente errada.
Vou checar rapidamente as alternativas com dois vetores:
  • Alternativa (B): \{(3,-4,3,3),(-4,4,4,-4)\}. Basta testar um dos vetores com u_{1} para ver se é ortogonal: (3,-4,3,3)\cdot(0,0,3,-1)=3\cdot3+(-1)\cdot3=9-3=6\neq0. Logo esse vetor não pertence a H^{\perp}. (B) está errada.
  • Alternativa (E): \{(1,2,1,3),(-4,4,4,-4)\}. O primeiro vetor (1,2,1,3) está em H^{\perp} (pode-se ver que é (1,0,1,3)+2(0,1,0,0) ), mas o segundo não: (-4,4,4,-4)\cdot(0,0,3,-1)=3\cdot4+(-1)\cdot(-4)=12+4=16\neq0. Logo (E) está errada.
  • Alternativa (H): \{(3,-4,3,3),(1,4,1,3)\}. O vetor (3,-4,3,3) já vimos que não é ortogonal a u_{1}, então (H) está errada.
  • Alternativa (G): \{(1,2,1,3),(1,4,1,3)\}. Verifico que ambos vetores pertencem a H^{\perp}. De fato,
(1,2,1,3)= (1,0,1,3)+2(0,1,0,0),
(1,4,1,3)= (1,0,1,3)+4(0,1,0,0).
Assim ambos são combinações lineares dos vetores que formam a base que encontramos. Além disso são linearmente independentes (suas componentes na segunda coordenada são diferentes), então formam uma base de H^{\perp}. Portanto (G) está correta.
Como já verificamos, nenhuma outra alternativa com dois vetores satisfaz a ortogonalidade completa, e alternativas com um vetor têm dimensão insuficiente.

Resposta

(G)

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