Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por: H=\operatorname{span}\{(0,0,3,-1),(-3,0,0,1),(12,0,-12,0)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(1,2,1,3)\}
(B) \{(3,-4,3,3),(-4,4,4,-4)\}
(C) \{(3,-4,3,3)\}
(D) \{(1,4,1,3)\}
(E) \{(1,2,1,3),(-4,4,4,-4)\}
(F) \{(-4,4,4,-4)\}
(G) \{(1,2,1,3),(1,4,1,3)\}
(H) \{(3,-4,3,3),(1,4,1,3)\}
Passo 1
O enunciado dá o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} gerado por três vetores:
Precisamos determinar H^{\perp}=\{x\in\mathbb{R}^{4}\mid x\cdot u=0\\ \text{para todo}\\ u\in H\} e, a partir disso, verificar qual alternativa apresenta uma base de H^{\perp}.
Passo 2
Definição e estratégia: H^{\perp} consiste dos vetores x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) que são ortogonais a cada gerador de H. A ortogonalidade é dada pelo produto escalar em \mathbb{R}^{4}:
x\cdot u = x_{1}u_{1}+x_{2}u_{2}+x_{3}u_{3}+x_{4}u_{4}.
Logo, para encontrar H^{\perp} basta resolver o sistema linear formado pelas equações x\cdot u_{1}=0, x\cdot u_{2}=0 e x\cdot u_{3}=0. Vou escrever essas três equações explicitamente e resolvê-las passo a passo.
Passo 3
Escrevendo as equações x\cdot u_{i}=0 para x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}):
Da parametrização obtemos imediatamente uma base natural de H^{\perp}:
(1,0,1,3)\quad\text{e}\quad(0,1,0,0).
Esses dois vetores são linearmente independentes (um tem componente x_{2}=0, o outro tem x_{2}=1), e qualquer vetor de H^{\perp} é combinação linear deles. Portanto \dim H^{\perp}=2 e uma base explícita é
\{(1,0,1,3),\;(0,1,0,0)\}.
Passo 6
Agora verifico as alternativas. Observação geral: uma base de H^{\perp} deve ter exatamente dois vetores (pois \dim H^{\perp}=2). Portanto qualquer alternativa com apenas um vetor (A, C, D, F) está automaticamente errada.
Vou checar rapidamente as alternativas com dois vetores:
Alternativa (B): \{(3,-4,3,3),(-4,4,4,-4)\}. Basta testar um dos vetores com u_{1} para ver se é ortogonal: (3,-4,3,3)\cdot(0,0,3,-1)=3\cdot3+(-1)\cdot3=9-3=6\neq0. Logo esse vetor não pertence a H^{\perp}. (B) está errada.
Alternativa (E): \{(1,2,1,3),(-4,4,4,-4)\}. O primeiro vetor (1,2,1,3) está em H^{\perp} (pode-se ver que é (1,0,1,3)+2(0,1,0,0) ), mas o segundo não: (-4,4,4,-4)\cdot(0,0,3,-1)=3\cdot4+(-1)\cdot(-4)=12+4=16\neq0. Logo (E) está errada.
Alternativa (H): \{(3,-4,3,3),(1,4,1,3)\}. O vetor (3,-4,3,3) já vimos que não é ortogonal a u_{1}, então (H) está errada.
Alternativa (G): \{(1,2,1,3),(1,4,1,3)\}. Verifico que ambos vetores pertencem a H^{\perp}. De fato,
(1,2,1,3)= (1,0,1,3)+2(0,1,0,0),
(1,4,1,3)= (1,0,1,3)+4(0,1,0,0).
Assim ambos são combinações lineares dos vetores que formam a base que encontramos. Além disso são linearmente independentes (suas componentes na segunda coordenada são diferentes), então formam uma base de H^{\perp}. Portanto (G) está correta.
Como já verificamos, nenhuma outra alternativa com dois vetores satisfaz a ortogonalidade completa, e alternativas com um vetor têm dimensão insuficiente.