Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores (-2,4,-5,1) e ( 5,-4,-3,-1 ) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre os vetores u=(-2,4,-5,1) e v=(5,-4,-3,-1) em \mathbb{R}^4. Temos então:
u=(-2,4,-5,1),\qquad v=(5,-4,-3,-1).
A pergunta é: em qual das alternativas (A) a (H) o ângulo \theta entre u e v se enquadra?

Passo 2

Vamos usar a definição do produto escalar (dot product) para vetores em \mathbb{R}^n. Se u=(u_1,\dots,u_n) e v=(v_1,\dots,v_n), então
u\cdot v = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i.
Isso é simplesmente multiplicar componente a componente e somar. Aplicando aos nossos vetores em \mathbb{R}^4:
u\cdot v = (-2)\cdot 5 + 4\cdot(-4) + (-5)\cdot(-3) + 1\cdot(-1).

Passo 3

Calculemos cada termo do produto escalar:
(-2)\cdot 5 = -10,\qquad 4\cdot(-4)=-16,\qquad (-5)\cdot(-3)=15,\qquad 1\cdot(-1)=-1.
Somando:
u\cdot v = -10 -16 +15 -1 = -12.

Passo 4

Agora precisamos das normas (comprimentos) dos vetores. A norma de um vetor w=(w_1,\dots,w_n) é
\|w\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n w_i^2}.
Para u:
\|u\|^2 = (-2)^2 + 4^2 + (-5)^2 + 1^2 = 4 +16 +25 +1 = 46,
portanto \|u\|=\sqrt{46}.
Para v:
\|v\|^2 = 5^2 + (-4)^2 + (-3)^2 + (-1)^2 = 25 +16 +9 +1 = 51,
portanto \|v\|=\sqrt{51}.

Passo 5

A relação entre produto escalar e ângulo é
u\cdot v = \|u\|\,\|v\|\cos\theta.
Isolando \cos\theta:
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}.
Substituindo os valores que calculamos:
\cos\theta = \frac{-12}{\sqrt{46}\,\sqrt{51}} = \frac{-12}{\sqrt{46\cdot 51}}.

Passo 6

Calculemos 46\cdot 51:
46\cdot 51 = 46\cdot(50+1)=2300+46=2346.
Então
\cos\theta = \frac{-12}{\sqrt{2346}}.
Para entender em que intervalo \theta cai, é suficiente comparar \cos\theta com valores conhecidos. Primeiro obtenhamos uma aproximação útil de \sqrt{2346}. Como 48^2=2304 e 49^2=2401, temos \sqrt{2346} entre 48 e 49. Uma aproximação via expansão linear (ou um passo de Newton) dá
\sqrt{2346}\approx 48{,}4375.
Logo
\cos\theta \approx \frac{-12}{48{,}4375}\approx -0{,}2478.

Passo 7

Agora compare \cos\theta com cosenos de ângulos-padrão:
\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,\qquad \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2}=-0{,}5.
Temos
-0{,}5 < -0{,}2478 < 0,
ou seja
\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) < \cos\theta < \cos\left(\frac{\pi}{2}\right).
Como a função \cos é estritamente decrescente no intervalo [\,\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3}\,], a desigualdade acima implica
\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{2\pi}{3}.

Passo 8

Portanto \theta pertence ao intervalo aberto \left(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{2\pi}{3}\right). Observando as alternativas, a que cobre \pi/2<\theta\le 2\pi/3 é a alternativa (E). Nosso valor não é exatamente igual a 2\pi/3, então a inclusão na alternativa (E) é apropriada.

Resposta

(E) \displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta\leqslant\frac{2\pi}{3}

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