Q8: Sejam
um conjunto LD e
um conjunto LI. Suponha
uma matriz
tal que:
(A) Pode-se afirmar que
tem solução para qualquer
, mas não se pode garantir unicidade.
(B) Não se pode afirmar se existe ou não tal
.
(C) Pode-se afirmar que
não tem solução única, qualquer que seja
.
(D) Pode-se afirmar que
tem solução única para qualquer
.
(E) Pode-se afirmar que
não tem solução para certos valores do vetor
, mas quando existe solução ela é única.
(F) Pode-se afirmar que não existe tal
.
(B) Não se pode afirmar se existe ou não tal
(C) Pode-se afirmar que
(D) Pode-se afirmar que
(E) Pode-se afirmar que
(F) Pode-se afirmar que não existe tal
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
é um conjunto linearmente dependente (LD).
é um conjunto linearmente independente (LI).
Existe (ou supõe-se a existência de) uma matriz chamada
tal que
Existe (ou supõe-se a existência de) uma matriz
A pergunta implícita é: qual das alternativas (A) a (F) está correta sobre a existência dessa
e/ou sobre soluções da equação
.
Passo 2
Vamos recordar definições importantes (com calma, passo a passo).
Definição de linearmente dependente: um conjunto é LD se existem escalares
, nem todos zero, tais que
Definição de linearmente dependente: um conjunto
Aqui
é o vetor nulo em
. “Nem todos zero” significa que pelo menos um dos
é diferente de zero.
Definição de linearmente independente: um conjunto
é LI se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial, isto é, se
implica necessariamente
.
Passo 3
Propriedade de transformações lineares (matrizes): uma matriz
é uma transformação linear, logo ela preserva combinações lineares. Mais precisamente, para quaisquer escalares
e vetores
,
Aplicando isso ao nosso caso, se tivermos uma relação
então aplicando
aos dois lados obtemos
Pelo enunciado,
, então isso vira
Passo 4
Agora usemos o fato de que
é LD. Assim existem escalares
, nem todos zero, com
Pelo passo anterior, isso implicaria
Mas
foi dada como linearmente independente, então a única forma dessa combinação dar
é que
. Isso contradiz a hipótese de que nem todos os
são zero. Logo chegamos a uma contradição.
Passo 5
A contradição mostra que a suposição "existe uma matriz
que manda
em
para
" é impossível quando as
são LD e as
são LI. Portanto não existe tal matriz
.
Um exemplo concreto para fixar a intuição: em
, se
e
(dependentes) e
(independentes), não existe transformação linear que envie
e
simultaneamente — mesma ideia que usamos acima.
Passo 6
Concluímos que a alternativa correta é a que afirma que não existe tal
. Isso corresponde à alternativa (F).
Resposta
(F)