Q8: Sejam \left\{\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, \vec{x}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LD e \left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LI. Suponha A uma matriz 3 \times 3 tal que:
A \vec{x}_{1}=\vec{b}_{1}, \quad A \vec{x}_{2}=\vec{b}_{2} \quad \text { e } \quad A \vec{x}_{3}=\vec{b}_{3}:
(A) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução para qualquer \vec{b}, mas não se pode garantir unicidade.
(B) Não se pode afirmar se existe ou não tal A.
(C) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução única, qualquer que seja \vec{b}.
(D) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução única para qualquer \vec{b}.
(E) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução para certos valores do vetor \vec{b}, mas quando existe solução ela é única.
(F) Pode-se afirmar que não existe tal A.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
\{\vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\vec{x}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} é um conjunto linearmente dependente (LD).
\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} é um conjunto linearmente independente (LI).
Existe (ou supõe-se a existência de) uma matriz 3\times3 chamada A tal que
A\vec{x}_{1}=\vec{b}_{1},\qquad A\vec{x}_{2}=\vec{b}_{2},\qquad A\vec{x}_{3}=\vec{b}_{3}.
A pergunta implícita é: qual das alternativas (A) a (F) está correta sobre a existência dessa A e/ou sobre soluções da equação A\vec{x}=\vec{b}.

Passo 2

Vamos recordar definições importantes (com calma, passo a passo).
Definição de linearmente dependente: um conjunto \{\vec{x}_1,\vec{x}_2,\vec{x}_3\} é LD se existem escalares \\ c_1,c_2,c_3, nem todos zero, tais que
c_1\vec{x}_1+c_2\vec{x}_2+c_3\vec{x}_3=\vec{0}.
Aqui \vec{0} é o vetor nulo em \mathbb{R}^3. “Nem todos zero” significa que pelo menos um dos c_i é diferente de zero.
Definição de linearmente independente: um conjunto \{\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3\} é LI se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial, isto é, se
d_1\vec{b}_1+d_2\vec{b}_2+d_3\vec{b}_3=\vec{0}
implica necessariamente d_1=d_2=d_3=0.

Passo 3

Propriedade de transformações lineares (matrizes): uma matriz A é uma transformação linear, logo ela preserva combinações lineares. Mais precisamente, para quaisquer escalares \alpha,\beta,\gamma e vetores \vec{v},\vec{w},\vec{u},
A(\alpha\vec{v}+\beta\vec{w}+\gamma\vec{u})=\alpha A\vec{v}+\beta A\vec{w}+\gamma A\vec{u}.
Aplicando isso ao nosso caso, se tivermos uma relação
c_1\vec{x}_1+c_2\vec{x}_2+c_3\vec{x}_3=\vec{0},
então aplicando A aos dois lados obtemos
A(c_1\vec{x}_1+c_2\vec{x}_2+c_3\vec{x}_3)=c_1A\vec{x}_1+c_2A\vec{x}_2+c_3A\vec{x}_3=\vec{0}.
Pelo enunciado, A\vec{x}_i=\vec{b}_i, então isso vira
c_1\vec{b}_1+c_2\vec{b}_2+c_3\vec{b}_3=\vec{0}.

Passo 4

Agora usemos o fato de que \{\vec{x}_1,\vec{x}_2,\vec{x}_3\} é LD. Assim existem escalares c_1,c_2,c_3, nem todos zero, com
c_1\vec{x}_1+c_2\vec{x}_2+c_3\vec{x}_3=\vec{0}.
Pelo passo anterior, isso implicaria
c_1\vec{b}_1+c_2\vec{b}_2+c_3\vec{b}_3=\vec{0}.
Mas \{\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3\} foi dada como linearmente independente, então a única forma dessa combinação dar \vec{0} é que c_1=c_2=c_3=0. Isso contradiz a hipótese de que nem todos os c_i são zero. Logo chegamos a uma contradição.

Passo 5

A contradição mostra que a suposição "existe uma matriz A que manda \vec{x}_i em \vec{b}_i para i=1,2,3" é impossível quando as \vec{x}_i são LD e as \vec{b}_i são LI. Portanto não existe tal matriz A.
Um exemplo concreto para fixar a intuição: em \mathbb{R}^2, se \vec{x}_1=(1,0) e \vec{x}_2=(2,0) (dependentes) e \vec{b}_1=(1,0),\vec{b}_2=(0,1) (independentes), não existe transformação linear que envie \vec{x}_1\mapsto\vec{b}_1 e \vec{x}_2\mapsto\vec{b}_2 simultaneamente — mesma ideia que usamos acima.

Passo 6

Concluímos que a alternativa correta é a que afirma que não existe tal A. Isso corresponde à alternativa (F).

Resposta

(F)

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