Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por: H=\operatorname{span}\{(0,-3,1,0),(3,0,-1,0),(-6,6,0,0)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(1,1,3,-2),(4,4,12,-4)\}
(B) \{(1,1,3,-2),(4,3,4,-2)\}
(C) \{(1,1,3,-2)\}
(D) \{(3,4,3,-2),(4,4,12,-4)\}
(E) \{(4,4,12,-4)\}
(F) \{(4,3,4,-2)\}
(G) \{(3,4,3,-2)\}
(H) \{(3,4,3,-2),(4,3,4,-2)\}
Passo 1
O enunciado dá o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} gerado por três vetores:
A pergunta é: qual dos conjuntos listados nas alternativas é uma base de H^{\perp} (o complemento ortogonal de H)? As alternativas apresentam vários conjuntos de um ou dois vetores em \mathbb{R}^{4}.
Informações relevantes fornecidas:
Os três vetores geradores de H (coloquei-os em parênteses acima).
Temos de escolher qual conjunto dentre (A) a (H) é base de H^{\perp}.
Passo 2
Primeiro vamos investigar se os três vetores dados são linearmente independentes ou se há dependência linear entre eles (isso nos dirá a dimensão de H\)). Denotemos
\[v_1=(0,-3,1,0),\quad v_2=(3,0,-1,0),\quad v_3=(-6,6,0,0).
Procuro coeficientes a,b tais que a v_1 + b v_2 = v_3. Calculo a combinação linear:
a v_1 + b v_2 = (3b,\,-3a,\;a-b,\;0).
Quero que isso seja igual a v_3=(-6,6,0,0). Igualando coordenadas:
\begin{cases} 3b = -6,\\\\ -3a = 6,\\\ a - b = 0. \end{cases}
Da primeira equação b=-2\]. Da segunda \(a=-2. Verifico a terceira: a-b = -2 - (-2) = 0 — ok. Logo
v_3 = -2\,v_1 -2\,v_2,
ou seja, v_3 é combinação linear de v_1 e v_2. Portanto os três vetores não são todos independentes.
Passo 3
Como v_3 depende de v_1 e v_2, os vetores geradores efetivamente reduzem-se a \{v_1,v_2\}. Esses dois são independentes (não são múltiplos um do outro), então
\dim(H)=2.
Em \mathbb{R}^4 vale a relação (teorema do complemento ortogonal)
\dim(H)+\dim(H^{\perp})=4.
Assim \dim(H^{\perp})=4-2=2. Conclusão importante: qualquer base de H^{\perp} deve ter exatamente 2 vetores linearmente independentes que pertençam a H^{\perp}.
Passo 4
Agora vamos caracterizar H^{\perp}\). Um vetor \(x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4\) pertence a \(H^{\perp}\) se e só se \(x\) for ortogonal a ambos \(v_1\) e \(v_2\):
\[x\cdot v_1 = 0,\qquad x\cdot v_2 = 0.
Da primeira equação x_3 = 3x_2\]. Da segunda \(x_1 = x_3/3. Substituindo x_3 obtemos x_1 = x_2. A coordenada x_4 não aparece nas equações, então é livre.]
e essa é uma descrição clara: qualquer vetor em H^{\perp} tem as duas primeiras componentes iguais, a terceira é três vezes a segunda, e a quarta é arbitrária.
Passo 6
Agora verifico quais alternativas apresentam um par de vetores que (i) pertencem a H^{\perp} e (ii) são linearmente independentes.
Observação prática: um vetor (x_1,x_2,x_3,x_4) pertence a H^{\perp} exatamente quando x_1=x_2 e x_3=3x_2 (como achamos). Vou testar as alternativas relevantes:
Alternativa (A): vetores (1,1,3,-2) e (4,4,12,-4).
Para (1,1,3,-2) temos x_1=1,x_2=1,x_3=3 — satisfaz x_1=x_2 e x_3=3x_2. Logo está em H^{\perp}.
Para (4,4,12,-4) temos x_1=4,x_2=4,x_3=12 — também satisfaz x_1=x_2 e x_3=3x_2. Logo também está em H^{\perp}.
Verifico independência linear: suponha a(1,1,3,-2)+b(4,4,12,-4)=0. Das coordenadas 1 e 2 vem a+4b=0. Da coordenada 4 vem -2a-4b=0, isto é -2(a+2b)=0. Juntando a+4b=0 e a+2b=0 resulta b=0 e então a=0. Logo são linearmente independentes. Como H^{\perp} tem dimensão 2, esse par forma uma base de H^{\perp}.
Para conferir que nenhuma outra alternativa serve, basta notar que qualquer alternativa com um vetor que não satisfaz x_1=x_2 e x_3=3x_2 já falha. Por exemplo:
O vetor (4,3,4,-2) (presente em (B), (F), (H)) tem x_1\neq x_2, então não pertence a H^{\perp}.
O vetor (3,4,3,-2) (presente em (D), (G), (H)) tem x_1\neq x_2, então também não pertence.
Conjuntos unitários ((C),(E),(F),(G)) não podem ser base de H^{\perp} porque \dim(H^{\perp})=2.
Assim, apenas a alternativa (A) contém dois vetores que pertencem a H^{\perp} e são independentes, portanto formam uma base.