Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores (4,3,-4,0) e (5,-1,2,1) e m \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre os vetores (4,3,-4,0) e (5,-1,2,1) em \mathbb{R}^{4} e nos dá oito intervalos possíveis para \theta. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
u=(4,3,-4,0),\qquad v=(5,-1,2,1).
O objetivo é determinar em qual dos seguintes intervalos o ângulo \theta entre u e v cai:
\begin{aligned} &\text{(A) } 0 \leqslant \theta \leqslant \pi/6,\quad \text{(B) } \pi/6<\theta \leqslant \pi/4,\\\ &\text{\text{(C)} } \pi/4<\theta \leqslant \pi/3,\quad \text{(D) } \pi/3<\theta \leqslant \pi/2,\\\ &\text{(E) } \pi/2<\theta \leqslant 2\pi/3,\quad \text{(F) } 2\pi/3<\theta \leqslant 3\pi/4,\\\ &\text{(G) } 3\pi/4<\theta \leqslant 5\pi/6,\quad \text{(H) } 5\pi/6<\theta \leqslant \pi. \end{aligned}

Passo 2

Fórmula que vamos usar (e o que cada símbolo significa):
\cos\theta=\frac{u\cdot v}{\lVert u\rVert\,\lVert v\rVert}.
Aqui u\cdot v é o produto escalar de u e v, definido por somar os produtos das componentes correspondentes; e \lVert u\rVert é a norma (comprimento) do vetor u, dada por \lVert u\rVert=\sqrt{u\cdot u}. A razão desta fórmula é que ela relaciona o produto escalar com o cosseno do ângulo entre vetores; o ângulo \theta entre vetores em \mathbb{R}^n satisfaz 0\leqslant\theta\leqslant\pi.

Passo 3

Calcular o produto escalar u\cdot v:
u\cdot v = 4\cdot 5 + 3\cdot(-1) + (-4)\cdot 2 + 0\cdot 1.
Agora executando as multiplicações e soma:
u\cdot v = 20 - 3 - 8 + 0 = 9.

Passo 4

Calcular as normas \lVert u\rVert e \lVert v\rVert:
\lVert u\rVert = \sqrt{4^{2}+3^{2}+(-4)^{2}+0^{2}}=\sqrt{16+9+16+0}=\sqrt{41},
\lVert v\rVert = \sqrt{5^{2}+(-1)^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{25+1+4+1}=\sqrt{31}.

Passo 5

Aplicar a fórmula do cosseno:
\cos\theta=\frac{u\cdot v}{\lVert u\rVert\,\lVert v\rVert} =\frac{9}{\sqrt{41}\,\sqrt{31}} =\frac{9}{\sqrt{1271}}.

Passo 6

Determinar o intervalo de \theta usando propriedades do cosseno. Primeiro note que 9/\sqrt{1271}>0 (numerador positivo). Agora comparamos com \cos(\pi/3)=\tfrac{1}{2} e \cos(\pi/2)=0.
Mostrar que
0<\frac{9}{\sqrt{1271}}<\frac{1}{2}.
A primeira desigualdade é óbvia. Para a segunda, multiplicamos ambos os lados por \sqrt{1271}>0 e obtemos a equivalência
\frac{9}{\sqrt{1271}}<\frac{1}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad 18<\sqrt{1271}.
Elevando ao quadrado (mantendo a desigualdade porque ambos os lados são positivos),
18^{2}=324<1271,
o que é verdadeiro. Portanto 0<\cos\theta<\tfrac{1}{2}.
Como a função \cos é estritamente decrescente em [0,\pi], a desigualdade 0<\cos\theta<\tfrac{1}{2} implica
\frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}.
Assim \theta está estritamente entre \pi/3 e \pi/2, o que cai no intervalo fornecido pela alternativa que pede \pi/3<\theta\leqslant\pi/2.

Passo 7

Para conforto (verificação numérica rápida): \sqrt{1271}\approx 35{,}65, então
\cos\theta\approx \frac{9}{35{,}65}\approx 0{,}252,
logo \theta\approx \operatorname{arccos}(0{,}252)\approx 1{,}316\\ \text{rad}\approx 75{,}4^\circ, que de fato está entre 60^\circ e 90^\circ.

Resposta

(D)

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