Q10: Seja
o ângulo entre os vetores
e
. Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado pede o ângulo entre os vetores
e
em
e nos dá oito intervalos possíveis para
. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
O objetivo é determinar em qual dos seguintes intervalos o ângulo
entre
e
cai:
Passo 2
Fórmula que vamos usar (e o que cada símbolo significa):
Aqui
é o produto escalar de
e
, definido por somar os produtos das componentes correspondentes; e
é a norma (comprimento) do vetor
, dada por
. A razão desta fórmula é que ela relaciona o produto escalar com o cosseno do ângulo entre vetores; o ângulo
entre vetores em
satisfaz
.
Passo 3
Calcular o produto escalar
:
Agora executando as multiplicações e soma:
Passo 4
Calcular as normas
e
:
Passo 5
Aplicar a fórmula do cosseno:
Passo 6
Determinar o intervalo de
usando propriedades do cosseno. Primeiro note que
(numerador positivo). Agora comparamos com
e
.
Mostrar que
A primeira desigualdade é óbvia. Para a segunda, multiplicamos ambos os lados por
e obtemos a equivalência
Elevando ao quadrado (mantendo a desigualdade porque ambos os lados são positivos),
o que é verdadeiro. Portanto
.
Como a função
é estritamente decrescente em
, a desigualdade
implica
Assim
está estritamente entre
e
, o que cai no intervalo fornecido pela alternativa que pede
.
Passo 7
Para conforto (verificação numérica rápida):
, então
logo
, que de fato está entre
e
.
Resposta
(D)