Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependència { }^{6} Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configuraçōes de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x
y
Z
-3
-1
-18.8
-2
-1
-11.3
-1
2
10.2
0
-5
-22.5
1
2
11.6
2
4
16.5
3
-3
-31.2
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parãmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos minimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(6,9). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestāo: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -26.2
(B) -25.2
(C) -24.2
(D) -23.2
(E) -22.2
(F) -21.2
(G) -20.2
(H) -19.2
Passo 1
O enunciado dá um modelo para a grandeza Z em função de x e y:
Z = a x^{2} + b y + c,
onde a, b e c são parâmetros a determinar por ajuste. Foram feitas 7 medições cujos pares (x,y) e valores Z são (copiado da tabela do enunciado):
O que se pede: ajustar a, b e c por mínimos quadrados usando esses dados e, com o modelo ajustado, calcular o valor previsto de Z em (x,y)=(6,9). Finalmente, escolher a melhor aproximação entre as opções dadas (\text{A}) a (\text{H}).
Passo 2
Ideia do método (explicação didática passo a passo):
Escrevemos o modelo linear em termos dos parâmetros desconhecidos a,b,c. Para cada medição i temos a equação linear
Z_i = a x_i^2 + b y_i + c + \varepsilon_i,
onde \varepsilon_i é o erro/resíduo.
Em forma matricial, com a matriz de desenho X (cada linha [x_i^2\; y_i\; 1]), o vetor de parâmetros \beta = \begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} e o vetor de observações \mathbf{z}, temos
\mathbf{z} = X \beta + \varepsilon.
O ajuste por mínimos quadrados escolhe \beta que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos \|\varepsilon\|^2. A solução normal é dada pelas equações normais:
X^{T}X\,\beta = X^{T}\mathbf{z}.
Então montamos X^{T}X e X^{T}\mathbf{z} a partir dos dados, resolvemos o sistema linear para \beta=(a,b,c)^T e usamos \beta para prever Z(6,9).
Observação rápida sobre notação:
Em X cada linha é \bigl[x_i^{2}\;\;\;y_i\;\;\;1\bigr].
Em X^{T}X aparecem somas como \sum x_i^{4}, \sum x_i^{2}y_i, \sum y_i^{2}, etc. Vou calcular explicitamente essas somas a seguir.
Passo 3
Calcular as quantidades necessárias a partir dos dados. Primeiro, para cada ponto, calculei x^2 (isto foi obtido diretamente das linhas da tabela):
Para os 7 pontos temos as colunas u_i=x_i^{2}, v_i=y_i e z_i:
\sum u z = -169{,}2-45{,}2+10{,}2+0+11{,}6+66{,}0-280{,}8 = -407{,}4.
\sum v z = (-1)(-18{,}8)+(-1)(-11{,}3)+2(10{,}2)+(-5)(-22{,}5)+2(11{,}6)+4(16{,}5)+(-3)(-31{,}2).
Calculando:
\sum v z = 18{,}8+11{,}3+20{,}4+112{,}5+23{,}2+66{,}0+93{,}6 = 345{,}8.
\sum z = -18{,}8-11{,}3+10{,}2-22{,}5+11{,}6+16{,}5-31{,}2 = -45{,}5.
Resumo das somas usadas:
\sum u = 28,\quad \sum v = -2,\quad \sum 1 = 7,
\sum u^{2} = 196,\quad \sum v^{2} = 60,\quad \sum u v = -20,
\sum u z = -407{,}4,\quad \sum v z = 345{,}8,\quad \sum z = -45{,}5.
Passo 4
Formar as equações normais X^{T}X\,\beta = X^{T}\mathbf{z}. Em bloco:
\begin{pmatrix} \sum u^{2} & \sum u v & \sum u \\\ \sum u v & \sum v^{2} & \sum v \\\ \sum u & \sum v & \sum 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\sum u z\\\ \sum v z\\\ \sum z\end{pmatrix}.
Termo à direita: -45{,}5 - f_{31}(-407{,}4) = -45{,}5 + \dfrac{407{,}4}{7} = -45{,}5 + 58{,}2 = 12{,}7.
Assim eq.3’ é
\left(\dfrac{6}{7}\right) b + 3 c = 12{,}7.
Agora resolvemos o sistema 2×2 formado por eq.2’ e eq.3’. Para simplificar, multiplicamos eq.2’ por 49 e dividimos por 1 (já apresentamos em fracionário), e eq.3’ por 10 ou 7 para operar com frações inteiras; um modo limpo é o que segue:
Eq.2’ multiplicada por 1 (em forma simplificada):
1420 b + 21 c = \dfrac{37268}{5}
(isto é dividir \frac{2840}{49}b + \frac{6}{7}c = \frac{74536}{245} por 2 e reduzir; o resultado exibido é equivalente ao passo anterior.)
1414\, b = \dfrac{73647}{10}\quad\Rightarrow\quad b = \dfrac{73647}{14140}.
Valor numérico:
b \approx 5{,}20844155844.
Encontrar c pela eq.3’ original: \dfrac{6}{7}b + 3c = 12{,}7.
Reescrevendo:
21 c = 7\cdot 12{,}7 - 6 b = 88{,}9 - 6 b,
portanto
c = \dfrac{88{,}9 - 6 b}{21}.
Substituindo o valor de b:
c \approx \dfrac{88{,}9 - 6(5{,}20844155844)}{21} \approx 2{,}74425479378.
Finalmente a pela eq.1: 196a -20b +28c = -407{,}4, então
a = \dfrac{-407{,}4 +20 b -28 c}{196}.
Substituindo b e c:
a \approx \dfrac{-407{,}4 +20(5{,}20844155844) -28(2{,}74425479378)}{196} \approx -1{,}93903043986.
Resumo numérico dos parâmetros ajustados:
a \approx -1{,}93903043986,\quad b \approx 5{,}20844155844,\quad c \approx 2{,}74425479378.
(Observação amiga: é normal usar uma calculadora ou software para essa álgebra numérica; a parte conceitual é montar X^{T}X e X^{T}z e resolver o linear — depois é só aritmética.)
Passo 6
Usar o modelo ajustado para prever Z em (x,y)=(6,9):
Z(6,9) = a\cdot 6^{2} + b\cdot 9 + c = a\cdot 36 + 9b + c.