Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependència { }^{6} Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configuraçōes de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 -1 -18.8
-2 -1 -11.3
-1 2 10.2
0 -5 -22.5
1 2 11.6
2 4 16.5
3 -3 -31.2
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parãmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos minimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(6,9). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestāo: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -26.2
(B) -25.2
(C) -24.2
(D) -23.2
(E) -22.2
(F) -21.2
(G) -20.2
(H) -19.2

Passo 1

O enunciado dá um modelo para a grandeza Z em função de x e y:
Z = a x^{2} + b y + c,
onde a, b e c são parâmetros a determinar por ajuste. Foram feitas 7 medições cujos pares (x,y) e valores Z são (copiado da tabela do enunciado):
\begin{array}{r|r|r} x & y & Z\\hline -3 & -1 & -18{,}8\\\\ -2 & -1 & -11{,}3\\\\ -1 & 2 & 10{,}2\\\\ 0 & -5 & -22{,}5\\\\ 1 & 2 & 11{,}6\\\\ 2 & 4 & 16{,}5\\\\ 3 & -3 & -31{,}2 \end{array}
O que se pede: ajustar a, b e c por mínimos quadrados usando esses dados e, com o modelo ajustado, calcular o valor previsto de Z em (x,y)=(6,9). Finalmente, escolher a melhor aproximação entre as opções dadas (\text{A}) a (\text{H}).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática passo a passo):
  • Escrevemos o modelo linear em termos dos parâmetros desconhecidos a,b,c. Para cada medição i temos a equação linear
Z_i = a x_i^2 + b y_i + c + \varepsilon_i,
onde \varepsilon_i é o erro/resíduo.
  • Em forma matricial, com a matriz de desenho X (cada linha [x_i^2\; y_i\; 1]), o vetor de parâmetros \beta = \begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} e o vetor de observações \mathbf{z}, temos
\mathbf{z} = X \beta + \varepsilon.
  • O ajuste por mínimos quadrados escolhe \beta que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos \|\varepsilon\|^2. A solução normal é dada pelas equações normais:
X^{T}X\,\beta = X^{T}\mathbf{z}.
  • Então montamos X^{T}X e X^{T}\mathbf{z} a partir dos dados, resolvemos o sistema linear para \beta=(a,b,c)^T e usamos \beta para prever Z(6,9).
Observação rápida sobre notação:
  • Em X cada linha é \bigl[x_i^{2}\;\;\;y_i\;\;\;1\bigr].
  • Em X^{T}X aparecem somas como \sum x_i^{4}, \sum x_i^{2}y_i, \sum y_i^{2}, etc. Vou calcular explicitamente essas somas a seguir.

Passo 3

Calcular as quantidades necessárias a partir dos dados. Primeiro, para cada ponto, calculei x^2 (isto foi obtido diretamente das linhas da tabela):
Para os 7 pontos temos as colunas u_i=x_i^{2}, v_i=y_i e z_i:
\begin{array}{r|r|r} u=x^{2} & v=y & z=Z\\hline 9 & -1 & -18{,}8\\\\ 4 & -1 & -11{,}3\\\\ 1 & 2 & 10{,}2\\\\ 0 & -5 & -22{,}5\\\\ 1 & 2 & 11{,}6\\\\ 4 & 4 & 16{,}5\\\\ 9 & -3 & -31{,}2 \end{array}
Agora as somas que aparecem nas normais (vou mostrar cálculo e resultado):
\sum u = 9+4+1+0+1+4+9 = 28.
\sum v = -1-1+2-5+2+4-3 = -2.
\sum 1 = 7.
\sum u^{2} = 9^{2}+4^{2}+1^{2}+0^{2}+1^{2}+4^{2}+9^{2} = 81+16+1+0+1+16+81 = 196.
\sum v^{2} = (-1)^{2}+(-1)^{2}+2^{2}+(-5)^{2}+2^{2}+4^{2}+(-3)^{2} = 1+1+4+25+4+16+9 = 60.
\sum u v = 9\cdot(-1)+4\cdot(-1)+1\cdot2+0\cdot(-5)+1\cdot2+4\cdot4+9\cdot(-3) = -9-4+2+0+2+16-27 = -20.
Agora os produtos com z:
\sum u z = 9(-18{,}8)+4(-11{,}3)+1(10{,}2)+0(-22{,}5)+1(11{,}6)+4(16{,}5)+9(-31{,}2).
Calculei cada termo:
9(-18{,}8)=-169{,}2,\quad 4(-11{,}3)=-45{,}2,\quad 1(10{,}2)=10{,}2,
0(-22{,}5)=0,\quad 1(11{,}6)=11{,}6,\quad 4(16{,}5)=66{,}0,\quad 9(-31{,}2)=-280{,}8.
Somando:
\sum u z = -169{,}2-45{,}2+10{,}2+0+11{,}6+66{,}0-280{,}8 = -407{,}4.
\sum v z = (-1)(-18{,}8)+(-1)(-11{,}3)+2(10{,}2)+(-5)(-22{,}5)+2(11{,}6)+4(16{,}5)+(-3)(-31{,}2).
Calculando:
\sum v z = 18{,}8+11{,}3+20{,}4+112{,}5+23{,}2+66{,}0+93{,}6 = 345{,}8.
\sum z = -18{,}8-11{,}3+10{,}2-22{,}5+11{,}6+16{,}5-31{,}2 = -45{,}5.
Resumo das somas usadas:
\sum u = 28,\quad \sum v = -2,\quad \sum 1 = 7,
\sum u^{2} = 196,\quad \sum v^{2} = 60,\quad \sum u v = -20,
\sum u z = -407{,}4,\quad \sum v z = 345{,}8,\quad \sum z = -45{,}5.

Passo 4

Formar as equações normais X^{T}X\,\beta = X^{T}\mathbf{z}. Em bloco:
\begin{pmatrix} \sum u^{2} & \sum u v & \sum u \\\ \sum u v & \sum v^{2} & \sum v \\\ \sum u & \sum v & \sum 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\sum u z\\\ \sum v z\\\ \sum z\end{pmatrix}.
Substituindo os valores:
\begin{pmatrix} 196 & -20 & 28\\\\ -20 & 60 & -2\\\\ 28 & -2 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-407{,}4\\\\ 345{,}8\\\\ -45{,}5\end{pmatrix}.
Temos assim o sistema linear de 3 equações com 3 incógnitas:
\begin{cases} 196a -20b +28c = -407{,}4,\\[4pt] -20a +60b -2c = 345{,}8,\\[4pt] 28a -2b +7c = -45{,}5. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema linear (eliminação de Gauss com contagem explícita das operações).
  1. Eliminar a das equações 2 e 3 usando a equação 1.
Fator para zerar a na eq.2: f_{21} = \dfrac{-20}{196} = -\dfrac{5}{49}.
Calculamos eq.2’ = eq.2 - f_{21}·eq.1:
  • Coeficiente de b: 60 - f_{21}(-20) = 60 - \dfrac{100}{49} = \dfrac{2840}{49} \approx 57{,}9591836735.
  • Coeficiente de c: -2 - f_{21}\cdot 28 = -2 + \dfrac{140}{49} = \dfrac{6}{7} \approx 0{,}8571428571.
  • Termo à direita: 345{,}8 - f_{21}(-407{,}4) = 345{,}8 - \dfrac{2037}{49} = \dfrac{74536}{245} \approx 304{,}2285714286.
Então eq.2’ (após limpar) é
\left(\dfrac{2840}{49}\right) b + \left(\dfrac{6}{7}\right) c = \dfrac{74536}{245}.
Fator para zerar a na eq.3: f_{31} = \dfrac{28}{196} = \dfrac{1}{7}.
Calculamos eq.3’ = eq.3 - f_{31}·eq.1:
  • Coeficiente de b: -2 - f_{31}(-20) = -2 + \dfrac{20}{7} = \dfrac{6}{7}.
  • Coeficiente de c: 7 - f_{31}\cdot 28 = 7 - 4 = 3.
  • Termo à direita: -45{,}5 - f_{31}(-407{,}4) = -45{,}5 + \dfrac{407{,}4}{7} = -45{,}5 + 58{,}2 = 12{,}7.
Assim eq.3’ é
\left(\dfrac{6}{7}\right) b + 3 c = 12{,}7.
  1. Agora resolvemos o sistema 2×2 formado por eq.2’ e eq.3’. Para simplificar, multiplicamos eq.2’ por 49 e dividimos por 1 (já apresentamos em fracionário), e eq.3’ por 10 ou 7 para operar com frações inteiras; um modo limpo é o que segue:
Eq.2’ multiplicada por 1 (em forma simplificada):
1420 b + 21 c = \dfrac{37268}{5}
(isto é dividir \frac{2840}{49}b + \frac{6}{7}c = \frac{74536}{245} por 2 e reduzir; o resultado exibido é equivalente ao passo anterior.)
Eq.3’ multiplicada por 7:
6 b + 21 c = \dfrac{889}{10}.
Subtraindo a segunda da primeira para eliminar c:
(1420-6)b = \dfrac{37268}{5} - \dfrac{889}{10}.
Calculando o lado direito:
\dfrac{37268}{5} - \dfrac{889}{10} = \dfrac{74536-889}{10} = \dfrac{73647}{10}.
Então
1414\, b = \dfrac{73647}{10}\quad\Rightarrow\quad b = \dfrac{73647}{14140}.
Valor numérico:
b \approx 5{,}20844155844.
  1. Encontrar c pela eq.3’ original: \dfrac{6}{7}b + 3c = 12{,}7.
    Reescrevendo:
21 c = 7\cdot 12{,}7 - 6 b = 88{,}9 - 6 b,
portanto
c = \dfrac{88{,}9 - 6 b}{21}.
Substituindo o valor de b:
c \approx \dfrac{88{,}9 - 6(5{,}20844155844)}{21} \approx 2{,}74425479378.
  1. Finalmente a pela eq.1: 196a -20b +28c = -407{,}4, então
a = \dfrac{-407{,}4 +20 b -28 c}{196}.
Substituindo b e c:
a \approx \dfrac{-407{,}4 +20(5{,}20844155844) -28(2{,}74425479378)}{196} \approx -1{,}93903043986.
Resumo numérico dos parâmetros ajustados:
a \approx -1{,}93903043986,\quad b \approx 5{,}20844155844,\quad c \approx 2{,}74425479378.
(Observação amiga: é normal usar uma calculadora ou software para essa álgebra numérica; a parte conceitual é montar X^{T}X e X^{T}z e resolver o linear — depois é só aritmética.)

Passo 6

Usar o modelo ajustado para prever Z em (x,y)=(6,9):
Z(6,9) = a\cdot 6^{2} + b\cdot 9 + c = a\cdot 36 + 9b + c.
Substituindo os valores:
a\cdot 36 \approx -1{,}93903043986 \times 36 \approx -69{,}80509583496,
9b \approx 9 \times 5{,}20844155844 \approx 46{,}87597402596,
c \approx 2{,}74425479378.
Somando:
Z(6,9) \approx -69{,}80509583496 + 46{,}87597402596 + 2{,}74425479378 \approx -20{,}18486701522.
Arredondando para uma das opções fornecidas, isto é aproximadamente -20{,}18, que corresponde à opção mais próxima (\text{G}) com valor -20{,}2.

Resposta

(G) -20{,}2

Exercícios relacionados