Q8: Sejam
um conjunto LI e
um conjunto LI. Suponha
uma matriz
tal que:
(A) Pode-se afirmar que
tem solução única para qualquer
.
(B) Pode-se afirmar que
não tem solução única, qualquer que seja
.
(C) Pode-se afirmar que
tem solução para qualquer
, mas não se pode garantir unicidade.
(D) Não se pode afirmar se existe ou não tal
.
(E) Pode-se afirmar que não existe tal
.
(F) Pode-se afirmar que
não tem solução para certos valores do vetor
, mas quando existe solução ela é única.
(B) Pode-se afirmar que
(C) Pode-se afirmar que
(D) Não se pode afirmar se existe ou não tal
(E) Pode-se afirmar que não existe tal
(F) Pode-se afirmar que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que escolhamos a alternativa correta:
- Temos
que é um conjunto linearmente independente (LI). - Temos
que também é um conjunto linearmente independente (LI). - Existe uma matriz
de dimensão tal que
O que o enunciado pergunta (indiretamente) é qual das alternativas (A)–(F) é verdadeira dado o que foi afirmado acima.
Passo 2
Primeiro vou organizar as três igualdades em uma única igualdade matricial, construindo matrizes cujas colunas são esses vetores. Defina as matrizes
onde cada
e
é visto como uma coluna em
. Então as três igualdades juntas equivalem a
Isto é só uma forma compacta de juntar as três igualdades dadas.
Passo 3
Agora vou usar o fato de que as colunas de
são linearmente independentes. Explique o que isso implica: um conjunto de
vetores LI em
é uma base de
, portanto as colunas de
formam uma base. Uma consequência prática e muito usada é:
- Se as colunas de uma matriz quadrada são linearly independentes, então a matriz é invertível (ou seja, existe
). Em termos de determinante, isso equivale a .
Logo, por hipótese as colunas de
são LI, portanto
é invertível e existe
.
Passo 4
Dado que
é invertível, podemos multiplicar a igualdade matricial
pela direita por
para isolar
. Fazendo isso:
isto é,
Isto mostra duas coisas importantes: (i) existe pelo menos uma matriz
que satisfaz as três igualdades; (ii) essa matriz
é necessariamente dada pela fórmula
, logo é única — não pode haver duas matrizes diferentes que, postas contra as mesmas colunas
, deem as mesmas colunas
.
Passo 5
Agora vamos verificar propriedades de
. Observe que as colunas de
também foram dadas como LI. Portanto, pelo mesmo raciocínio do Passo 3,
é invertível (isto é,
e existe
). Como
é produto de matrizes invertíveis:
e o produto de matrizes invertíveis é invertível, segue que
é invertível. Em particular existe
.
Passo 6
Com
invertível temos uma conclusão direta sobre a equação
para um vetor arbitrário
:
- Existência: Como
é invertível, para qualquer podemos definir . Esse satisfaz . Logo, existe solução para todo . - Unicidade: Se
e , então . Como é invertível, seu núcleo é , logo e . Portanto a solução é única.
Resumindo: para qualquer
existe exatamente uma solução
.
Passo 7
Vou recapitular de modo bem direto para você levar para a prova:
- A hipótese de que
é LI implica que a matriz (colunas ) é invertível. - Da igualdade
segue , logo tal existe e é único. - Como
é LI, é invertível; portanto é produto de matrizes invertíveis e assim é invertível. - Se
é invertível então tem solução única para qualquer (a solução é ).
Concluímos que a alternativa correta é a que afirma que para todo
a equação tem solução única.
Resposta
(A)