Q8: Sejam \left\{\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, \vec{x}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LI e \left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LI. Suponha A uma matriz 3 \times 3 tal que:
A \vec{x}_{1}=\vec{b}_{1}, \quad A \vec{x}_{2}=\vec{b}_{2} \quad \text { e } \quad A \vec{x}_{3}=\vec{b}_{3}
(A) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução única para qualquer \vec{b}.
(B) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução única, qualquer que seja \vec{b}.
(C) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução para qualquer \vec{b}, mas não se pode garantir unicidade.
(D) Não se pode afirmar se existe ou não tal A.
(E) Pode-se afirmar que não existe tal A.
(F) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução para certos valores do vetor \vec{b}, mas quando existe solução ela é única.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que escolhamos a alternativa correta:
  • Temos \{\vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\vec{x}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} que é um conjunto linearmente independente (LI).
  • Temos \{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} que também é um conjunto linearmente independente (LI).
  • Existe uma matriz A de dimensão 3\times3 tal que
A\vec{x}_{1}=\vec{b}_{1},\qquad A\vec{x}_{2}=\vec{b}_{2},\qquad A\vec{x}_{3}=\vec{b}_{3}.
O que o enunciado pergunta (indiretamente) é qual das alternativas (A)–(F) é verdadeira dado o que foi afirmado acima.

Passo 2

Primeiro vou organizar as três igualdades em uma única igualdade matricial, construindo matrizes cujas colunas são esses vetores. Defina as matrizes
X=\begin{pmatrix}\vec{x}_{1} & \vec{x}_{2} & \vec{x}_{3}\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}\vec{b}_{1} & \vec{b}_{2} & \vec{b}_{3}\end{pmatrix},
onde cada \vec{x}_i e \vec{b}_i é visto como uma coluna em \mathbb{R}^3. Então as três igualdades juntas equivalem a
A X = B.
Isto é só uma forma compacta de juntar as três igualdades dadas.

Passo 3

Agora vou usar o fato de que as colunas de X são linearmente independentes. Explique o que isso implica: um conjunto de 3 vetores LI em \mathbb{R}^3 é uma base de \mathbb{R}^3, portanto as colunas de X formam uma base. Uma consequência prática e muito usada é:
  • Se as colunas de uma matriz quadrada são linearly independentes, então a matriz é invertível (ou seja, existe X^{-1}). Em termos de determinante, isso equivale a \det(X)\neq 0.
Logo, por hipótese as colunas de X são LI, portanto X é invertível e existe X^{-1}.

Passo 4

Dado que X é invertível, podemos multiplicar a igualdade matricial A X = B pela direita por X^{-1} para isolar A. Fazendo isso:
A X X^{-1} = B X^{-1},
isto é,
A = B X^{-1}.
Isto mostra duas coisas importantes: (i) existe pelo menos uma matriz A que satisfaz as três igualdades; (ii) essa matriz A é necessariamente dada pela fórmula A=B X^{-1}, logo é única — não pode haver duas matrizes diferentes que, postas contra as mesmas colunas \vec{x}_i, deem as mesmas colunas \vec{b}_i.

Passo 5

Agora vamos verificar propriedades de A. Observe que as colunas de B também foram dadas como LI. Portanto, pelo mesmo raciocínio do Passo 3, B é invertível (isto é, \det(B)\neq 0 e existe B^{-1}). Como A é produto de matrizes invertíveis:
A = B X^{-1},
e o produto de matrizes invertíveis é invertível, segue que A é invertível. Em particular existe A^{-1}.

Passo 6

Com A invertível temos uma conclusão direta sobre a equação A\vec{x}=\vec{b} para um vetor arbitrário \vec{b}\in\mathbb{R}^3:
  • Existência: Como A é invertível, para qualquer \vec{b} podemos definir \vec{x}=A^{-1}\vec{b}. Esse \vec{x} satisfaz A\vec{x}=\vec{b}. Logo, existe solução para todo \vec{b}.
  • Unicidade: Se A\vec{x}_1=\vec{b} e A\vec{x}_2=\vec{b}, então A(\vec{x}_1-\vec{x}_2)=\vec{0}. Como A é invertível, seu núcleo é \{\vec{0}\}, logo \vec{x}_1-\vec{x}_2=\vec{0} e \vec{x}_1=\vec{x}_2. Portanto a solução é única.
Resumindo: para qualquer \vec{b} existe exatamente uma solução \vec{x}=A^{-1}\vec{b}.

Passo 7

Vou recapitular de modo bem direto para você levar para a prova:
  • A hipótese de que \{\vec{x}_1,\vec{x}_2,\vec{x}_3\} é LI implica que a matriz X (colunas \vec{x}_i) é invertível.
  • Da igualdade A X=B segue A=B X^{-1}, logo tal A existe e é único.
  • Como \{\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3\} é LI, B é invertível; portanto A=B X^{-1} é produto de matrizes invertíveis e assim A é invertível.
  • Se A é invertível então A\vec{x}=\vec{b} tem solução única para qualquer \vec{b} (a solução é \vec{x}=A^{-1}\vec{b}).
Concluímos que a alternativa correta é a que afirma que para todo \vec{b} a equação tem solução única.

Resposta

(A)

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