Q12. Nos seguintes exercícios verificar que as
dadas são soluções das equações dadas e encontre uma solução linearmente independentes com
.
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e informa uma solução particular
. O que se pede:
- Verificar que
é realmente solução da equação. - Encontrar uma segunda solução
que seja linearmente independente de .
Informações relevantes dadas:
- A equação é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes dependentes de
. - Uma solução conhecida é
.
Passo 2
Verificação direta de que
satisfaz a equação.
Calcule as derivadas:
Substituindo na equação:
Portanto
é de fato solução.
Passo 3
Ideia do método para achar
: redução de ordem. Quando se conhece uma solução
de
procura-se uma segunda solução da forma
, com
desconhecida. Isso transforma a equação de 2ª ordem em uma equação de ordem menor para
. Vou aplicar isso aqui. (Não se preocupe se parecer muito procedimento — é um passo-a-passo padrão que funciona bem na prova.)
Passo 4
Colocar a equação na forma padrão e aplicar
.
A equação dada já está em forma padrão com
e
.
Tome
. Calcule derivadas:
Substitua na equação:
Simplificando os termos:
Assim obtemos a redução
Passo 5
Reduzir a ordem definindo
. Então
Dividindo por
(supondo
; a solução pode estender-se por continuidade em
depois),
Isto é uma equação linear de primeira ordem para
. Vou resolver por fator integrante.
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos
Logo
onde
é constante. Portanto
Passo 6
Integrar para obter
:
A integral
não é elementar na forma simples, mas podemos manipular para escrevê-la em termos de
(essa última é antiderivada não-elementar relacionada à função erro). Observe a identidade
Reescrevendo,
Mas em vez de complicar com essa forma, uma identidade mais útil é:
calcule a derivada de :
calcule a derivada de
Somando
aos dois lados:
Assim
Anote que
não tem primitiva elementar (está relacionada à função erro imaginária), mas podemos denotá-la por uma antiderivada conveniente.
Passo 7
Escolher uma antiderivada conveniente e montar
.
Defina a função
que é uma antiderivada de
. Tomando
(qualquer constante multiplicativa gera apenas múltiplos da solução) e desprezando a constante aditiva
porque ela gera um termo proporcional a
, obtemos
Portanto uma segunda solução
é
Multiplicar por
(ou adicionar múltiplos de
) não muda a independência; uma forma um pouco mais “positiva” é
que também é válida e mais elegante visualmente.
Observação didática:
não é expressável em termos de funções elementares; ela está relacionada à função de erro imaginária. Isso é comum: muitas EDOs com coeficientes polinomiais têm soluções que envolvem integrais não elementares. Na prova, escrever a solução na forma integral é perfeitamente aceitável.
Passo 8
Verificar independência linear (explicação rápida e segura).
Para uma equação linear homogênea de segunda ordem na forma
, o wronskiano
satisfaz
Aqui
, então
Isto significa que o wronskiano de duas soluções é proporcional a
, que nunca é zero. Assim, se construímos
pela redução de ordem (e não obtivemos uma solução identicamente proporcional a
), o wronskiano é não nulo e
são linearmente independentes em qualquer intervalo onde são definidas. Portanto a função
encontrada é linearmente independente de
.