Q11. Seguindo os passos da questão anterior, encontre a solução geral dos seguintes sistemas de EDO:
(b) \quad \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 3 & -2\end{array}\right) \mathbf{x};

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de EDO com coeficientes constantes
\mathbf{x}' = A\,\mathbf{x},
onde
A = \begin{pmatrix}2 & -1 \\[6pt] 3 & -2\end{pmatrix}.
O método consiste em encontrar autovalores e autovetores de A e então escrever a solução como combinação linear de \mathrm{e}^{\lambda t} multiplicada pelos autovetores.]

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico
\det\!\bigl(A - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix}2-\lambda & -1 \\[4pt] 3 & -2-\lambda\end{pmatrix} = (2-\lambda)(-2-\lambda) - (-1)\cdot3.
Desenvolvendo,
(2-\lambda)(-2-\lambda) = -4 -2\lambda +2\lambda +\lambda^2 = \lambda^2 -4,
então
\det\!\bigl(A - \lambda I\bigr) = \lambda^2 -4 +3 = \lambda^2 -1.
Igualando a zero, vem a equação característica
\lambda^2 -1 = 0.]

Passo 3

As raízes de \lambda^2 -1=0 são
\lambda_1 = 1, \qquad \lambda_2 = -1.

Passo 4

Para \lambda_1 = 1, resolvemos (A - I)v=0:
A - I = \begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 3 & -3\end{pmatrix},
daqui v_1 - v_2 = 0, logo podemos escolher
v^{(1)} = \begin{pmatrix}1 \\[4pt] 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para \lambda_2 = -1, resolvemos (A + I)v=0:
A + I = \begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix},
daqui 3v_1 - v_2 = 0, logo podemos escolher
v^{(-1)} = \begin{pmatrix}1 \\[4pt] 3\end{pmatrix}.]

Passo 6

Os vetores v^{(1)} e v^{(-1)} são linearmente independentes, então a solução geral do sistema é
\mathbf{x}(t) = C_1\,v^{(1)}\,\mathrm e^{\,1\cdot t} + C_2\,v^{(-1)}\,\mathrm e^{-1\cdot t}.

Resposta

\mathbf{x}(t) = C_1 \begin{pmatrix}1 \\[4pt] 1\end{pmatrix} e^{t} + C_2 \begin{pmatrix}1 \\[4pt] 3\end{pmatrix} e^{-t},
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.]

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