Resolva os problemas com termos não homogêneos descontínuos abaixo
(b) \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=\left\{\begin{array}{lll}1, & \text { se } & t \in[\pi, 2 \pi) \\\\ 0, & \text { se } & t \in[0, \pi) \cap[2 \pi, \infty)\end{array}\right. \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''+2y'+2y=f(t),\quad y(0)=0,\;y'(0)=1
onde
f(t)= \begin{cases} 0,&t\in[0,\pi)\\\\ 1,&t\in[\pi,2\pi)\\\\ 0,&t\in[2\pi,\infty) \end{cases}
Vamos usar solução por partes: em cada intervalo f é constante, então montamos a solução geral (homogênea mais particular quando f\neq0) e ajustamos as condições de continuidade de y e y' nos instantes t=\pi e t=2\pi.

Passo 2

Intervalo 0\le t<\pi. Aqui f(t)=0, a equação é homogênea.
Solução geral
y_h(t)=e^{-t}\bigl(A\cos t+B\sin t\bigr).
Impondo y(0)=0\Rightarrow A=0 e
y'(t)=e^{-t}\bigl(-A\cos t-B\sin t -A\sin t+B\cos t\bigr),
então y'(0)=B=1. Logo
y_1(t)=e^{-t}\sin t.

Passo 3

Em t=\pi temos
y_1(\pi)=e^{-\pi}\sin\pi=0,\quad y_1'(\pi)=e^{-\pi}(\cos\pi-\sin\pi)=-e^{-\pi}.
Para \pi\le t<2\pi, f(t)=1. A particular constante é y_p=\tfrac12 pois 2y_p=1. A solução geral é
y_2(t)=e^{-t}\bigl(A_2\cos t+B_2\sin t\bigr)+\tfrac12.
Continuidade em t=\pi
-e^{-\pi}A_2+\tfrac12=0\quad\Rightarrow\quad A_2=\tfrac12\,e^{\pi},
e continuidade de y' em \pi:
y_2'(\pi)=e^{-\pi}(A_2-B_2)=-e^{-\pi} \quad\Rightarrow\quad A_2-B_2=-1 \quad\Rightarrow\quad B_2=A_2+1=\tfrac12e^{\pi}+1.
Portanto
y_2(t) =e^{-t}\Bigl(\tfrac12e^{\pi}\cos t+\bigl(\tfrac12e^{\pi}+1\bigr)\sin t\Bigr)+\tfrac12.

Passo 4

Em t=2\pi temos
y_2(2\pi)=e^{-2\pi}\Bigl(\tfrac12e^{\pi}\Bigr)+\tfrac12 =\tfrac12e^{-\pi}+\tfrac12, \quad y_2'(2\pi)=e^{-2\pi}\bigl(B_2-A_2\bigr)=e^{-2\pi}.
Para t\ge2\pi, f(t)=0 de novo, então
y_3(t)=e^{-t}\bigl(C\cos t+D\sin t\bigr).
De y_3(2\pi)=y_2(2\pi) segue
e^{-2\pi}C=\tfrac12e^{-\pi}+\tfrac12 \quad\Rightarrow\quad C=\tfrac12e^{\pi}+\tfrac12e^{2\pi},
e de y_3'(2\pi)=y_2'(2\pi) segue
e^{-2\pi}(-C+D)=e^{-2\pi} \quad\Rightarrow\quad D=C+1 =\tfrac12e^{\pi}+\tfrac12e^{2\pi}+1.

Resposta

y(t)= \begin{cases} e^{-t}\sin t,&0\le t<\pi,\\\ e^{-t}\Bigl(\tfrac{1}{2}e^{\pi}\cos t+\bigl(\tfrac{1}{2}e^{\pi}+1\bigr)\sin t\Bigr)+\tfrac{1}{2}, &\pi\le t<2\pi,\\\ e^{-t}\Bigl(\bigl(\tfrac{1}{2}e^{\pi}+\tfrac{1}{2}e^{2\pi}\bigr)\cos t +\bigl(\tfrac{1}{2}e^{\pi}+\tfrac{1}{2}e^{2\pi}+1\bigr)\sin t\Bigr), &t\ge2\pi. \end{cases}

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