Q11. Seguindo os passos da questão anterior, encontre a solução geral dos seguintes sistemas de EDO:
(c) \quad \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}4 & -3 \\\\ 8 & -6\end{array}\right) \mathbf{x}.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema
\mathbf{x}' = \begin{pmatrix}4 & -3 \\[4pt] 8 & -6\end{pmatrix}\mathbf{x}.
O conteúdo é resolução de sistemas lineares homogêneos com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método de autovalores e autovetores da matriz A=\begin{pmatrix}4 & -3 \\[4pt]8 & -6\end{pmatrix}.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det\bigl(A-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix}4-\lambda & -3 \\[4pt]8 & -6-\lambda\end{pmatrix} =(4-\lambda)(-6-\lambda)-(-3)\cdot8
=(4-\lambda)(-6-\lambda)+24 =\lambda^2+2\lambda =\lambda(\lambda+2).
Portanto, os autovalores são
\lambda_1=0 e \lambda_2=-2.
]

Passo 3

Para cada autovalor achamos um autovetor não-nulo:
1\). \(\lambda_1=0\): \[A v=0\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 4v_1-3v_2=0,\\\\ 8v_1-6v_2=0 \end{cases} \;\Rightarrow\;v_2=\tfrac{4}{3}v_1.
Escolhendo v_1=3\], fica \(\displaystyle v^{(1)}=\begin{pmatrix}3\\\ 4\end{pmatrix}.
  1. \lambda_2=-2: (A+2I)w=0\quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}6 & -3\\[4pt]8 & -4\end{pmatrix}w=0 \;\Rightarrow\;6w_1-3w_2=0\;\Rightarrow\;w_2=2w_1.Escolhendo w_1=1, fica
    \displaystyle v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}.
    ]

Passo 4

Como A é diagonalizável, a solução geral do sistema é
\mathbf{x}(t) =C_1\,v^{(1)}e^{\lambda_1 t} +C_2\,v^{(2)}e^{\lambda_2 t} =C_1\begin{pmatrix}3\\\ 4\end{pmatrix}e^{0\cdot t} + C_2\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}e^{-2t}.

Resposta

\boxed{\mathbf{x}(t) =C_1\begin{pmatrix}3\\\ 4\end{pmatrix} + C_2\,e^{-2t}\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix},}
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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