Q11. Seguindo os passos da questão anterior, encontre a solução geral dos seguintes sistemas de EDO: (c) \quad \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}4 & -3 \\\\ 8 & -6\end{array}\right) \mathbf{x}. Passo 1O enunciado apresenta o sistema \mathbf{x}' = \begin{pmatrix}4 & -3 \\[4pt] 8 & -6\end{pmatrix}\mathbf{x}. O conteúdo é resolução de sistemas lineares homogêneos com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método de autovalores e autovetores da matriz A=\begin{pmatrix}4 & -3 \\[4pt]8 & -6\end{pmatrix}.] Passo 2Calculamos o polinômio característico de A: \det\bigl(A-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix}4-\lambda & -3 \\[4pt]8 & -6-\lambda\end{pmatrix} =(4-\lambda)(-6-\lambda)-(-3)\cdot8 =(4-\lambda)(-6-\lambda)+24 =\lambda^2+2\lambda =\lambda(\lambda+2). Portanto, os autovalores são \lambda_1=0 e \lambda_2=-2. ] Passo 3Para cada autovalor achamos um autovetor não-nulo: 1\). \(\lambda_1=0\): \[A v=0\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 4v_1-3v_2=0,\\\\ 8v_1-6v_2=0 \end{cases} \;\Rightarrow\;v_2=\tfrac{4}{3}v_1. Escolhendo v_1=3\], fica \(\displaystyle v^{(1)}=\begin{pmatrix}3\\\ 4\end{pmatrix}. \lambda_2=-2: (A+2I)w=0\quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}6 & -3\\[4pt]8 & -4\end{pmatrix}w=0 \;\Rightarrow\;6w_1-3w_2=0\;\Rightarrow\;w_2=2w_1.Escolhendo w_1=1, fica \displaystyle v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}. ] Passo 4Como A é diagonalizável, a solução geral do sistema é \mathbf{x}(t) =C_1\,v^{(1)}e^{\lambda_1 t} +C_2\,v^{(2)}e^{\lambda_2 t} =C_1\begin{pmatrix}3\\\ 4\end{pmatrix}e^{0\cdot t} + C_2\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}e^{-2t}. Resposta \boxed{\mathbf{x}(t) =C_1\begin{pmatrix}3\\\ 4\end{pmatrix} + C_2\,e^{-2t}\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix},} onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosQ11. Seguindo os passos da questão anterior, encontre a solução geral dos seguintes sistemas de EDO: (c) \quad \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}4 & -3 \\\\ 8 & -6\end{array}\right) \mathbf{x}. Resolva os problemas com termos não homogêneos descontínuos abaixo (b) \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=\left\{\begin{array}{lll}1, & \text { se } & t \in[\pi, 2 \pi) \\\\ 0, & \text { se } & t \in[0, \pi) \cap[2 \pi, \infty)\end{array}\right. \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=1\end{array}\right. Q11. Seguindo os passos da questão anterior, encontre a solução geral dos seguintes sistemas de EDO: (d) \quad \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}2 & 3 \\\\ -6 & -7\end{array}\right) \mathbf{x} ;