Q11. Seguindo os passos da questão anterior, encontre a solução geral dos seguintes sistemas de EDO:
(d) \quad \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}2 & 3 \\\\ -6 & -7\end{array}\right) \mathbf{x} ;

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de EDO
\mathbf{x}' = A\,\mathbf{x}
com
A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] -6 & -7\end{pmatrix}.
Para resolver, vamos usar o método de autovalores e autovetores de matrizes constantes.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}2-\lambda & 3 \\[4pt] -6 & -7-\lambda\end{pmatrix} = (2-\lambda)(-7-\lambda) - (3)(-6) = \lambda^2 + 5\lambda + 4 = 0.
Assim, os autovalores são
\lambda_1 = -1, \quad \lambda_2 = -4.]

Passo 3

Para \lambda_1 = -1, resolvemos (A + I)\mathbf{v} = 0, ou seja,
\begin{pmatrix}3 & 3 \\[4pt] -6 & -6\end{pmatrix}\mathbf{v} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix}1 \\[3pt] -1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2 = -4, resolvemos (A + 4I)\mathbf{v} = 0, obtendo
\begin{pmatrix}6 & 3 \\[4pt] -6 & -3\end{pmatrix}\mathbf{v} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}1 \\[3pt] -2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Como A tem dois autovalores reais distintos com autovetores linearmente independentes, a solução geral é
\mathbf{x}(t) = C_1\,e^{-t}\begin{pmatrix}1 \\[3pt] -1\end{pmatrix} + C_2\,e^{-4t}\begin{pmatrix}1 \\[3pt] -2\end{pmatrix},
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.]

Resposta

\mathbf{x}(t) = C_1\,e^{-t}\begin{pmatrix}1 \\[3pt] -1\end{pmatrix} + C_2\,e^{-4t}\begin{pmatrix}1 \\[3pt] -2\end{pmatrix}.]

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