Q12.11 Um planeta se move com velocidade de módulo constante em uma órbita circular em torno de uma estrela. Em uma órbita completa, o trabalho total realizado pela força gravitacional da estrela sobre o planeta é positivo, negativo ou nulo? Qual seria a resposta a essa pergunta no caso de uma órbita elíptica ao longo da qual o módulo da velocidade não é constante? Explique suas respostas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
- Dados fornecidos:
- Um planeta descreve uma órbita fechada em torno de uma estrela; consideram-se dois casos: órbita circular com módulo da velocidade constante e órbita elíptica com módulo da velocidade não constante.
- A força que atua é a força gravitacional da estrela sobre o planeta (força central dirigida para o centro da estrela).
- Perguntas:
- Para a órbita circular (velocidade de módulo constante), o trabalho total realizado pela força gravitacional ao longo de uma órbita completa é positivo, negativo ou nulo?
- Para a órbita elíptica (velocidade não constante), o trabalho total realizado pela força gravitacional ao longo de uma órbita completa é positivo, negativo ou nulo?
- Observação importante que vou usar: a pergunta pede o trabalho total ao longo de uma órbita completa (ou seja, integração de
ao longo do caminho fechado).
Passo 2
Definições e ferramentas que usarei (explicadas passo a passo).
- Definição de trabalho de uma força ao longo de um deslocamento: para uma força variável, o trabalho é a integral de linha
onde
é a força e
é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo da trajetória; o símbolo
indica integração ao longo de um percurso fechado.
- Aqui,
é o produto escalar: ele mede quanto da força está na mesma direção do deslocamento naquele instante. Se a força for perpendicular ao deslocamento, o produto escalar é zero (sem trabalho naquele trecho). - Teorema trabalho-energia:
onde
é a energia cinética do planeta (
é a massa do planeta e
o módulo da velocidade). Isso é útil porque, para uma trajetória fechada periódica, o estado final coincide com o inicial, então
se a velocidade (módulo) retornar ao mesmo valor.
- Natureza conservativa da força gravitacional:
- A força gravitacional entre duas massas é derivável de um potencial escalar
, com
e para gravitação newtoniana onde é a constante gravitacional, a massa da estrela, a massa do planeta e a distância entre eles. Forças conservativas têm a propriedade de que o trabalho ao longo de qualquer percurso fechado é zero: - Vou usar tanto a propriedade conservativa quanto o teorema trabalho-energia quando for conveniente, explicando o porquê.
- A força gravitacional entre duas massas é derivável de um potencial escalar
Passo 3
Análise do caso: órbita circular com velocidade de módulo constante. Explico geometricamente e via energia.
- Geometria e direção da força:
- Em movimento circular a força gravitacional é centrípeta, ou seja, apontando radialmente para o centro da órbita (está sempre na direção de
radial). O deslocamento instantâneo é tangente à circunferência, perpendicular ao raio. Logo, em qualquer ponto,
- Como o produto escalar é zero em cada elemento de trajetória, a integral ao longo de toda a volta é zero:
- Em movimento circular a força gravitacional é centrípeta, ou seja, apontando radialmente para o centro da órbita (está sempre na direção de
- Argumento pela energia (chega à mesma conclusão): na órbita circular o módulo da velocidade é constante, então a energia cinética
não muda ao longo do tempo. Aplicando o teorema trabalho-energia para uma volta completa, porque . Portanto o trabalho total é nulo. - Conclusão parcial: para a órbita circular com velocidade de módulo constante, o trabalho total realizado pela força gravitacional em uma órbita completa é nulo.
Passo 4
Análise do caso: órbita elíptica com velocidade não constante — comportamento instantâneo do trabalho.
- O que muda: numa elipse o vetor posição
varia, a força continua radial (sempre apontando para o foco), mas o deslocamento não é sempre perpendicular à força. Ou seja, em certos trechos o deslocamento tem componente radial (para dentro ou para fora), de modo que pode ser positivo ou negativo. - Interpretação física:
- Quando o planeta se aproxima do foco (a estrela), o deslocamento radial é dirigido para dentro e a força também é para dentro, então
: a força realiza trabalho positivo e a velocidade (módulo) aumenta — o planeta “ganha” energia cinética. - Quando o planeta se afasta do foco, o deslocamento radial é dirigido para fora enquanto a força é para dentro, então
: a força realiza trabalho negativo e a velocidade diminui — o planeta “perde” energia cinética. - Portanto ao longo da órbita haverá trechos com trabalho positivo e outros com trabalho negativo.
- Quando o planeta se aproxima do foco (a estrela), o deslocamento radial é dirigido para dentro e a força também é para dentro, então
Passo 5
Por que, apesar dos trechos com trabalho não nulo, o trabalho total na elipse também é nulo? Dois argumentos equivalentes e complementares.
- Pelo teorema trabalho-energia: a órbita é periódica. Depois de uma volta completa o planeta volta ao mesmo ponto da órbita com a mesma velocidade (o movimento é repetitivo), logo a energia cinética final é igual à inicial. Assim
Mesmo havendo variação de em trechos da órbita, o ganho e a perda ao longo do ciclo se cancelam. - Pela propriedade de força conservativa: a força gravitacional é derivada de um potencial
. O trabalho de uma força conservativa entre dois pontos depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho. Para um caminho fechado (ponto final igual ao inicial), porque a variação total do potencial ao voltar ao mesmo ponto é zero. Em particular, para qualquer órbita fechada (elipse incluída), o trabalho total da gravidade é nulo.
Passo 6
Resumo intuitivo e dicas para prova (como justificar rapidamente na hora da prova).
- Caso circular com velocidade constante: dizer que a força é sempre perpendicular ao deslocamento (força centrípeta), então
em cada ponto e o trabalho total é zero. Alternativamente, usar que constante implica . - Caso elíptico com velocidade variável: explicar que localmente a força faz trabalho positivo ao aproximar e negativo ao afastar; porém como a força é conservativa (potencial
) o trabalho em um ciclo fechado é zero. Ou usar o teorema trabalho-energia e o fato de que depois de uma volta completa retorna ao mesmo valor, então . - Essas duas justificativas (conservatividade do campo gravitacional e teorema trabalho-energia) são respostas sólidas e curtas para prova.
Resposta
Para a órbita circular com velocidade de módulo constante: nulo.
Para a órbita elíptica (módulo da velocidade não constante): nulo.
Para a órbita elíptica (módulo da velocidade não constante): nulo.