Q12.11 Um planeta se move com velocidade de módulo constante em uma órbita circular em torno de uma estrela. Em uma órbita completa, o trabalho total realizado pela força gravitacional da estrela sobre o planeta é positivo, negativo ou nulo? Qual seria a resposta a essa pergunta no caso de uma órbita elíptica ao longo da qual o módulo da velocidade não é constante? Explique suas respostas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Um planeta descreve uma órbita fechada em torno de uma estrela; consideram-se dois casos: órbita circular com módulo da velocidade constante e órbita elíptica com módulo da velocidade não constante.
    • A força que atua é a força gravitacional da estrela sobre o planeta (força central dirigida para o centro da estrela).
  • Perguntas:
    1. Para a órbita circular (velocidade de módulo constante), o trabalho total realizado pela força gravitacional ao longo de uma órbita completa é positivo, negativo ou nulo?
    2. Para a órbita elíptica (velocidade não constante), o trabalho total realizado pela força gravitacional ao longo de uma órbita completa é positivo, negativo ou nulo?
  • Observação importante que vou usar: a pergunta pede o trabalho total ao longo de uma órbita completa (ou seja, integração de \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} ao longo do caminho fechado).

Passo 2

Definições e ferramentas que usarei (explicadas passo a passo).
  • Definição de trabalho de uma força ao longo de um deslocamento: para uma força variável, o trabalho é a integral de linha
W=\oint \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
onde \mathbf{F} é a força e d\mathbf{r} é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo da trajetória; o símbolo \oint indica integração ao longo de um percurso fechado.
  • Aqui, \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} é o produto escalar: ele mede quanto da força está na mesma direção do deslocamento naquele instante. Se a força for perpendicular ao deslocamento, o produto escalar é zero (sem trabalho naquele trecho).
  • Teorema trabalho-energia:
W = \Delta K = K_{\text{final}} - K_{\text{inicial}},
onde K=\tfrac{1}{2}mv^{2} é a energia cinética do planeta ( m é a massa do planeta e v o módulo da velocidade). Isso é útil porque, para uma trajetória fechada periódica, o estado final coincide com o inicial, então \Delta K = 0 se a velocidade (módulo) retornar ao mesmo valor.
  • Natureza conservativa da força gravitacional:
    • A força gravitacional entre duas massas é derivável de um potencial escalar U(r), com
    \mathbf{F} = -\nabla U(r),e para gravitação newtoniana U(r) = -\frac{G M m}{r},onde G é a constante gravitacional, M a massa da estrela, m a massa do planeta e r a distância entre eles. Forças conservativas têm a propriedade de que o trabalho ao longo de qualquer percurso fechado é zero: \oint \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 0.
    • Vou usar tanto a propriedade conservativa quanto o teorema trabalho-energia quando for conveniente, explicando o porquê.

Passo 3

Análise do caso: órbita circular com velocidade de módulo constante. Explico geometricamente e via energia.
  • Geometria e direção da força:
    • Em movimento circular a força gravitacional é centrípeta, ou seja, apontando radialmente para o centro da órbita (está sempre na direção de \hat{r} radial). O deslocamento instantâneo d\mathbf{r} é tangente à circunferência, perpendicular ao raio. Logo, em qualquer ponto,
    \mathbf{F}\perp d\mathbf{r}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0.
    • Como o produto escalar é zero em cada elemento de trajetória, a integral ao longo de toda a volta é zero:
    W=\oint \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0.
  • Argumento pela energia (chega à mesma conclusão): na órbita circular o módulo da velocidade é constante, então a energia cinética K=\tfrac{1}{2}mv^{2} não muda ao longo do tempo. Aplicando o teorema trabalho-energia para uma volta completa, W = \Delta K = 0,porque K_{\text{final}}=K_{\text{inicial}}. Portanto o trabalho total é nulo.
  • Conclusão parcial: para a órbita circular com velocidade de módulo constante, o trabalho total realizado pela força gravitacional em uma órbita completa é nulo.

Passo 4

Análise do caso: órbita elíptica com velocidade não constante — comportamento instantâneo do trabalho.
  • O que muda: numa elipse o vetor posição \mathbf{r} varia, a força continua radial (sempre apontando para o foco), mas o deslocamento não é sempre perpendicular à força. Ou seja, em certos trechos o deslocamento tem componente radial (para dentro ou para fora), de modo que \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} pode ser positivo ou negativo.
  • Interpretação física:
    • Quando o planeta se aproxima do foco (a estrela), o deslocamento radial é dirigido para dentro e a força também é para dentro, então \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}>0: a força realiza trabalho positivo e a velocidade (módulo) aumenta — o planeta “ganha” energia cinética.
    • Quando o planeta se afasta do foco, o deslocamento radial é dirigido para fora enquanto a força é para dentro, então \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}<0: a força realiza trabalho negativo e a velocidade diminui — o planeta “perde” energia cinética.
    • Portanto ao longo da órbita haverá trechos com trabalho positivo e outros com trabalho negativo.

Passo 5

Por que, apesar dos trechos com trabalho não nulo, o trabalho total na elipse também é nulo? Dois argumentos equivalentes e complementares.
  • Pelo teorema trabalho-energia: a órbita é periódica. Depois de uma volta completa o planeta volta ao mesmo ponto da órbita com a mesma velocidade (o movimento é repetitivo), logo a energia cinética final é igual à inicial. Assim W=\Delta K=0.Mesmo havendo variação de K em trechos da órbita, o ganho e a perda ao longo do ciclo se cancelam.
  • Pela propriedade de força conservativa: a força gravitacional é derivada de um potencial U(r). O trabalho de uma força conservativa entre dois pontos depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho. Para um caminho fechado (ponto final igual ao inicial), W=\oint \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = -\oint \nabla U\cdot d\mathbf{r} = 0porque a variação total do potencial ao voltar ao mesmo ponto é zero. Em particular, para qualquer órbita fechada (elipse incluída), o trabalho total da gravidade é nulo.

Passo 6

Resumo intuitivo e dicas para prova (como justificar rapidamente na hora da prova).
  • Caso circular com velocidade constante: dizer que a força é sempre perpendicular ao deslocamento (força centrípeta), então \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0 em cada ponto e o trabalho total é zero. Alternativamente, usar que v constante implica \Delta K=0 \Rightarrow W=0.
  • Caso elíptico com velocidade variável: explicar que localmente a força faz trabalho positivo ao aproximar e negativo ao afastar; porém como a força é conservativa (potencial U(r)=-GMm/r) o trabalho em um ciclo fechado é zero. Ou usar o teorema trabalho-energia e o fato de que depois de uma volta completa K retorna ao mesmo valor, então W=0.
  • Essas duas justificativas (conservatividade do campo gravitacional e teorema trabalho-energia) são respostas sólidas e curtas para prova.

Resposta

Para a órbita circular com velocidade de módulo constante: nulo.
Para a órbita elíptica (módulo da velocidade não constante): nulo.

Exercícios relacionados