Q12.13 Quando um projétil é disparado verticalmente de baixo para cima da superfície terrestre, o que ocorreria se sua energia mecânica total (cinética mais potencial) fosse: (a) menor que zero? (b) maior que zero? Em cada caso, despreze
a resistência do ar e os efeitos gravitacionais do Sol, da Lua e dos outros planetas.

Passo 1

O enunciado diz: um projétil é lançado verticalmente para cima a partir da superfície da Terra. Despreze resistência do ar e a atração de outros astros. Pergunta-se o que aconteceria se a energia mecânica total do projétil (cinética + potencial) fosse:
(a) menor que zero?
(b) maior que zero?
Informações dadas (explicitadas):
  • O lançamento é radial (vertical) partindo da superfície da Terra, em raio R.
  • Não há perdas por atrito (energia mecânica conservada).
  • A energia mecânica total é E=K+U.
  • A atração gravitacional usada será a da Terra isoladamente (potencial gravitacional de ponto-massa).

Passo 2

Conceitos e fórmulas fundamentais (pequena aula):
  • Energia cinética de uma partícula de massa m e velocidade v é
K=\tfrac{1}{2}m v^2.
  • Potencial gravitacional de uma massa m a uma distância r do centro da Terra (tomando potencial zero no infinito) é
U(r)=-\dfrac{G M m}{r},
onde M é a massa da Terra e G é a constante gravitacional. Observação: por esse referencial, U é negativa quando r é finito — isso é normal e significa que a Terra atrai o projétil e que é preciso fornecer energia para levá-lo até o infinito.
  • Energia mecânica total (conservada durante o movimento, pois não há dissipação)
E=K+U=\tfrac{1}{2}m v^2-\dfrac{G M m}{r}.
  • No instante inicial (superfície, r=R, velocidade inicial v_0) tem-se
E=\tfrac{1}{2}m v_0^2-\dfrac{G M m}{R}.
Esse E determina se o movimento é ligado (o projétil fica ligado gravitacionalmente à Terra e retorna) ou desligado (escapa para o infinito).

Passo 3

Caso geral para determinar a máxima distância alcançada (útil para o caso E<0):
  • Em qualquer ponto de inversão do movimento (ponto mais alto) a velocidade é zero, logo K=0 e a energia total é puramente potencial:
E=U(r_{\max})=-\dfrac{G M m}{r_{\max}}.
  • Igualando à energia inicial, obtemos
\tfrac{1}{2}m v_0^2-\dfrac{G M m}{R}=-\dfrac{G M m}{r_{\max}}.
  • Cancelando m e reorganizando:
\tfrac{1}{2}v_0^2 = G M\!\left(\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{r_{\max}}\right).
  • Isolando r_{\max}:
\dfrac{1}{r_{\max}}=\dfrac{1}{R}-\dfrac{v_0^2}{2GM}, \qquad\text{ou}\qquad r_{\max}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{R}-\dfrac{v_0^2}{2GM}}.
Essa fórmula só faz sentido (com r_{\max}>0) quando o denominador é positivo, ou seja quando v_0^2<\dfrac{2GM}{R}. Note que essa condição é equivalente a E<0 (veja abaixo).

Passo 4

Interpretação física e conclusão para (a) — E<0:
  • Se E<0, então a energia total inicial é menor que zero:
\tfrac{1}{2}m v_0^2-\dfrac{G M m}{R}<0
ou, dividindo por m,
\tfrac{1}{2}v_0^2<\dfrac{GM}{R}.
  • Isso significa que não há energia suficiente para levar o projétil até r\to\infty (onde U\to0), porque a energia total está abaixo de zero (potencial no infinito é zero). Assim existe um r_{\max} finito dado pela expressão do passo anterior; ao atingir esse r_{\max} a velocidade será zero e o projétil voltará para a Terra. Em palavras simples: o projétil sobe até uma altura máxima e depois cai de volta à superfície — o movimento é ligado (bound).
  • Em termos de velocidade: E<0 equivale a v_0<v_{\text{esc}}, onde a velocidade de escape (limiar entre ligado e desligado) é obtida fazendo E=0 e resulta em
v_{\text{esc}}=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}.

Passo 5

Interpretação física e conclusão para (b) — E>0:
  • Se E>0, então
\tfrac{1}{2}m v_0^2-\dfrac{G M m}{R}>0
ou
\tfrac{1}{2}v_0^2>\dfrac{GM}{R},
isto é v_0>v_{\text{esc}}.
  • Quando E>0, ao levar r\to\infty temos U\to0. Como E é positivo e conservado, a energia cinética no infinito não pode ser negativa; de fato o projétil chega ao infinito com velocidade residual
v_{\infty}=\sqrt{\dfrac{2E}{m}}=\sqrt{v_0^2-v_{\text{esc}}^2}\,,
ou seja, ele escapa da atração terrestre e continua viajando para o infinito com velocidade finita positiva. Em palavras: o projétil foge para o espaço e não retorna — o movimento é não ligado (unbound).
  • Observação útil: o caso E=0 (fronteira) dá v_0=v_{\text{esc}}; o projétil alcança r\to\infty com velocidade zero (trajetória parabólica no contexto de orbital).

Passo 6

Resumo didático curto (para gravar na prova):
  • Energia total negativa \Rightarrow movimento ligado: sobe até uma altura máxima finita r_{\max} (obtida via E=U(r_{\max})) e cai de volta.
  • Energia total positiva \Rightarrow movimento não ligado: projétil escapa para r\to\infty com velocidade residual v_{\infty}=\sqrt{2E/m}.
  • Limiar entre os dois: energia nula e velocidade de escape v_{\text{esc}}=\sqrt{2GM/R} (na superfície da Terra v_{\text{esc}}\approx11{,}2\\ \text{km/s}, só como referência).

Resposta

(a) Se E<0: o projétil é ligado gravitacionalmente à Terra — sobe até uma distância máxima finita r_{\max} (dada por \tfrac{1}{r_{\max}}=\tfrac{1}{R}-\tfrac{v_0^2}{2GM}) e depois cai de volta à Terra.
(b) Se E>0: o projétil tem energia suficiente para escapar — ele vai para r\to\infty e chega ao infinito com velocidade residual v_{\infty}=\sqrt{\dfrac{2E}{m}}=\sqrt{v_0^2-v_{\text{esc}}^2}, isto é, não retorna à Terra.

Exercícios relacionados