Q12.13 Quando um projétil é disparado verticalmente de baixo para cima da superfície terrestre, o que ocorreria se sua energia mecânica total (cinética mais potencial) fosse: (a) menor que zero? (b) maior que zero? Em cada caso, despreze
a resistência do ar e os efeitos gravitacionais do Sol, da Lua e dos outros planetas.
a resistência do ar e os efeitos gravitacionais do Sol, da Lua e dos outros planetas.
Passo 1
O enunciado diz: um projétil é lançado verticalmente para cima a partir da superfície da Terra. Despreze resistência do ar e a atração de outros astros. Pergunta-se o que aconteceria se a energia mecânica total do projétil (cinética + potencial) fosse:
(a) menor que zero?
(b) maior que zero?
(a) menor que zero?
(b) maior que zero?
Informações dadas (explicitadas):
- O lançamento é radial (vertical) partindo da superfície da Terra, em raio
. - Não há perdas por atrito (energia mecânica conservada).
- A energia mecânica total é
. - A atração gravitacional usada será a da Terra isoladamente (potencial gravitacional de ponto-massa).
Passo 2
Conceitos e fórmulas fundamentais (pequena aula):
- Energia cinética de uma partícula de massa
e velocidade é
- Potencial gravitacional de uma massa
a uma distância do centro da Terra (tomando potencial zero no infinito) é
onde
é a massa da Terra e
é a constante gravitacional. Observação: por esse referencial,
é negativa quando
é finito — isso é normal e significa que a Terra atrai o projétil e que é preciso fornecer energia para levá-lo até o infinito.
- Energia mecânica total (conservada durante o movimento, pois não há dissipação)
- No instante inicial (superfície,
, velocidade inicial ) tem-se
Esse
determina se o movimento é ligado (o projétil fica ligado gravitacionalmente à Terra e retorna) ou desligado (escapa para o infinito).
Passo 3
Caso geral para determinar a máxima distância alcançada (útil para o caso
):
- Em qualquer ponto de inversão do movimento (ponto mais alto) a velocidade é zero, logo
e a energia total é puramente potencial:
- Igualando à energia inicial, obtemos
- Cancelando
e reorganizando:
- Isolando
:
Essa fórmula só faz sentido (com
) quando o denominador é positivo, ou seja quando
. Note que essa condição é equivalente a
(veja abaixo).
Passo 4
Interpretação física e conclusão para (a) —
:
- Se
, então a energia total inicial é menor que zero:
ou, dividindo por
,
- Isso significa que não há energia suficiente para levar o projétil até
(onde ), porque a energia total está abaixo de zero (potencial no infinito é zero). Assim existe um finito dado pela expressão do passo anterior; ao atingir esse a velocidade será zero e o projétil voltará para a Terra. Em palavras simples: o projétil sobe até uma altura máxima e depois cai de volta à superfície — o movimento é ligado (bound). - Em termos de velocidade:
equivale a , onde a velocidade de escape (limiar entre ligado e desligado) é obtida fazendo e resulta em
Passo 5
Interpretação física e conclusão para (b) —
:
- Se
, então
ou
isto é
.
- Quando
, ao levar temos . Como é positivo e conservado, a energia cinética no infinito não pode ser negativa; de fato o projétil chega ao infinito com velocidade residual
ou seja, ele escapa da atração terrestre e continua viajando para o infinito com velocidade finita positiva. Em palavras: o projétil foge para o espaço e não retorna — o movimento é não ligado (unbound).
- Observação útil: o caso
(fronteira) dá ; o projétil alcança com velocidade zero (trajetória parabólica no contexto de orbital).
Passo 6
Resumo didático curto (para gravar na prova):
- Energia total negativa
movimento ligado: sobe até uma altura máxima finita (obtida via ) e cai de volta. - Energia total positiva
movimento não ligado: projétil escapa para com velocidade residual . - Limiar entre os dois: energia nula e velocidade de escape
(na superfície da Terra , só como referência).
Resposta
(a) Se
: o projétil é ligado gravitacionalmente à Terra — sobe até uma distância máxima finita
(dada por
) e depois cai de volta à Terra.
(b) Se : o projétil tem energia suficiente para escapar — ele vai para
e chega ao infinito com velocidade residual
, isto é, não retorna à Terra.
(b) Se