Q12: Considere a base ORTOGONAL de
e o vetor
.
Calcule a
coordenada de
com relação à base
.
A) -3
B) -2
D) 1
E) 2
F) 3
c) -1
Calcule a
A) -3
B) -2
D) 1
E) 2
F) 3
c) -1
Passo 1
O enunciado dá:
- Uma base ortogonal
de . - O vetor
(peguei este dado do enunciado). - O vetor
(peguei este dado do enunciado).
O que se pede:
- Calcular a quarta coordenada de
em relação à base . Ou seja, encontrar o escalar tal que, escrevendo
nós queremos o valor de
.
Passo 2
Conceito chave (explicação didática): em uma base ortogonal, os vetores da base são mutuamente ortogonais: para
vale
. Isso simplifica muito o cálculo das coordenadas.
Regra prática (fórmula): se
é uma base ortogonal (não necessariamente ortonormal), então a coordenada
de
na direção de
é dada por
Vou explicar por que isso vale: suponha que
. Faça o produto interno com
:
Pela ortogonalidade, todos os termos com
são zero, sobrando
. Daí isola-se
e obtém-se a fórmula acima.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso
: queremos
Agora vou calcular numericamente o numerador e o denominador usando os vetores fornecidos.
Passo 4
Cálculo do produto interno
. Pelo produto interno em
,
Faço as multiplicações e somas passo a passo:
Somando:
Passo 5
Cálculo de
(ou seja,
):
Passo 6
Agora aplico a fórmula:
Interpretação rápida e incentivo: isso significa que a componente de
na direção de
é
. Boa — a conta ficou bem limpa porque a base é ortogonal!