Q12: Considere a base ORTOGONAL de
\beta=\left\{\vec{q}_{1}, \vec{q}_{2}, \vec{q}_{3}, \vec{q}_{4}\right\}, \text { com } \vec{q}_{4}=(1,-1,2,-2)
e o vetor \vec{v}=(-14,-2,0,-1).
Calcule a 4^{\mathrm{a}} coordenada de \vec{v} com relação à base \beta.
A) -3
B) -2
D) 1
E) 2
F) 3
c) -1

Passo 1

O enunciado dá:
  • Uma base ortogonal \beta=\{\vec{q}_{1},\vec{q}_{2},\vec{q}_{3},\vec{q}_{4}\} de \mathbb{R}^{4}.
  • O vetor \vec{q}_{4}=(1,-1,2,-2) (peguei este dado do enunciado).
  • O vetor \vec{v}=(-14,-2,0,-1) (peguei este dado do enunciado).
O que se pede:
  • Calcular a quarta coordenada de \vec{v} em relação à base \beta. Ou seja, encontrar o escalar c_{4} tal que, escrevendo
\vec{v}=c_{1}\vec{q}_{1}+c_{2}\vec{q}_{2}+c_{3}\vec{q}_{3}+c_{4}\vec{q}_{4},
nós queremos o valor de c_{4}.

Passo 2

Conceito chave (explicação didática): em uma base ortogonal, os vetores da base são mutuamente ortogonais: para i\neq j vale \vec{q}_{i}\cdot\vec{q}_{j}=0. Isso simplifica muito o cálculo das coordenadas.
Regra prática (fórmula): se \{\vec{q}_{i}\} é uma base ortogonal (não necessariamente ortonormal), então a coordenada c_{j} de \vec{v} na direção de \vec{q}_{j} é dada por
c_{j}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{q}_{j}}{\vec{q}_{j}\cdot\vec{q}_{j}}.
Vou explicar por que isso vale: suponha que \vec{v}=\sum_{i} c_{i}\vec{q}_{i}. Faça o produto interno com \vec{q}_{j}:
\vec{v}\cdot\vec{q}_{j}=\sum_{i} c_{i}(\vec{q}_{i}\cdot\vec{q}_{j}).
Pela ortogonalidade, todos os termos com i\neq j são zero, sobrando \vec{v}\cdot\vec{q}_{j}=c_{j}(\vec{q}_{j}\cdot\vec{q}_{j}). Daí isola-se c_{j} e obtém-se a fórmula acima.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso j=4: queremos
c_{4}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{q}_{4}}{\vec{q}_{4}\cdot\vec{q}_{4}}.
Agora vou calcular numericamente o numerador e o denominador usando os vetores fornecidos.

Passo 4

Cálculo do produto interno \vec{v}\cdot\vec{q}_{4}. Pelo produto interno em \mathbb{R}^{4},
\vec{v}\cdot\vec{q}_{4}=(-14)\cdot 1 + (-2)\cdot(-1) + 0\cdot 2 + (-1)\cdot(-2).
Faço as multiplicações e somas passo a passo:
(-14)\cdot 1 = -14,
(-2)\cdot(-1)=+2,
0\cdot 2 = 0,
(-1)\cdot(-2)=+2.
Somando:
\vec{v}\cdot\vec{q}_{4} = -14 + 2 + 0 + 2 = -10.

Passo 5

Cálculo de \vec{q}_{4}\cdot\vec{q}_{4} (ou seja, \|\vec{q}_{4}\|^{2}):
\vec{q}_{4}\cdot\vec{q}_{4}=1^{2}+(-1)^{2}+2^{2}+(-2)^{2}=1+1+4+4=10.

Passo 6

Agora aplico a fórmula:
c_{4}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{q}_{4}}{\vec{q}_{4}\cdot\vec{q}_{4}}=\frac{-10}{10}=-1.
Interpretação rápida e incentivo: isso significa que a componente de \vec{v} na direção de \vec{q}_{4} é -1. Boa — a conta ficou bem limpa porque a base é ortogonal!

Resposta

-1

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