Q11: Sejam
uma base do espaço dos polinômios de grau até 1 e
. Denotando por
as coordenadas de
com relação à base
, calcule o valor de
.
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(x) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(x) -3
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que pede. Peguei as informações do enunciado:
- A base é
. - O polinômio é
. - Denotamos as coordenadas de
na base por .
O que o exercício pede: encontrar o valor de(a segunda coordenada de na base ).
Passo 2
Entendendo o que significa
: isso quer dizer que
pode ser escrito como combinação linear das duas funções da base, ou seja
Essa equação é a tradução do conceito de coordenadas: os escalares
e
são os coeficientes que multiplicam os vetores (aqui polinômios) da base para recompor
.
Passo 3
Agora expandimos a combinação linear à esquerda e igualamos com
. Primeiro expandimos:
Agrupando os termos em
e os termos constantes:
Essa expressão deve ser igual a
. Portanto os coeficientes correspondentes de
e da constante devem ser iguais, o que gera o sistema
Passo 4
Resolvendo o sistema para encontrar
. Uma maneira direta é eliminar
. Multiplico a primeira equação por
:
Agora subtraio a segunda equação dessa equação:
No lado esquerdo
. No direito
. Logo
Para checar rapidamente, se
então pela primeira equação
dá
. Substituindo em
temos
, que confere com o termo constante de
. Tudo bate.
Resposta
(E) 1