Q11: Sejam \beta=\{x+3, \quad-3 x-7\} uma base do espaço dos polinômios de grau até 1 e p(x)=-4 x-10. Denotando por [p]_{\beta}=(a, b) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de b.
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(x) -3

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que pede. Peguei as informações do enunciado:
  • A base é \beta=\{\,x+3,\; -3x-7\,\}.
  • O polinômio é p(x)=-4x-10.
  • Denotamos as coordenadas de p na base \beta por [p]_{\beta}=(a,b).
    O que o exercício pede: encontrar o valor de b (a segunda coordenada de p na base \beta).

Passo 2

Entendendo o que significa [p]_{\beta}=(a,b): isso quer dizer que p pode ser escrito como combinação linear das duas funções da base, ou seja
a\,(x+3)+b\,(-3x-7)=p(x).
Essa equação é a tradução do conceito de coordenadas: os escalares a e b são os coeficientes que multiplicam os vetores (aqui polinômios) da base para recompor p.

Passo 3

Agora expandimos a combinação linear à esquerda e igualamos com p(x). Primeiro expandimos:
a(x+3)+b(-3x-7)=a x+3a-3b x-7b.
Agrupando os termos em x e os termos constantes:
(a-3b)\,x + (3a-7b).
Essa expressão deve ser igual a p(x) = -4x-10. Portanto os coeficientes correspondentes de x e da constante devem ser iguais, o que gera o sistema
\begin{cases} a-3b = -4,\\[4pt] 3a-7b = -10. \end{cases}]

Passo 4

Resolvendo o sistema para encontrar b. Uma maneira direta é eliminar a. Multiplico a primeira equação por 3:
3a-9b = -12.
Agora subtraio a segunda equação dessa equação:
(3a-9b) - (3a-7b) = -12 - (-10).
No lado esquerdo 3a-9b-3a+7b = -2b. No direito -12+10 = -2. Logo
-2b = -2 \quad\Rightarrow\quad b = 1.
Para checar rapidamente, se b=1 então pela primeira equação a-3\cdot1=-4 a=-1. Substituindo em 3a-7b temos 3(-1)-7(1)=-3-7=-10, que confere com o termo constante de p(x). Tudo bate.

Resposta

(E) 1

Exercícios relacionados