Seja o triângulo de vértices A=(2,3,-6), B=(-4,-5,2) e C=(6,3,4). As equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado B C e pelo vértice A são dadas por:
Escolha uma opção:
◯ a. \left\{\begin{aligned} x & =-1+7 t \\\ \langle b r /\rangle y & =-1+4 t \\\ z & =-2+6 t\end{aligned}\right.
◯ b. \left\{\begin{aligned} x & =1+3 t \\\ \langle b r /\rangle y & =-1+6 t \\\ z & =3-7 t\end{aligned}\right.
◯ c. \left\{\begin{aligned} x & =-1+9 t \\\ \langle b r /\rangle y & =-1+6 t \\\ z & =-2+8 t\end{aligned}\right.
◯ d. \left\{\begin{aligned} x & =1+t \\\ \langle b r /\rangle y & =-1+4 t \\\ z & =3-9 t\end{aligned}\right.
◯ e. \left\{\begin{aligned} x & =4-8 t \\\ \langle b r /\rangle y & =3-8 t \\\ z & =-1+3 t\end{aligned}\right.
◯ f. \left\{\begin{aligned} x & =6-12 t \\\ \langle b r /\rangle y & =5-12 t \\\ z & =1-t\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá os vértices do triângulo: A=(2,3,-6), B=(-4,-5,2) e C=(6,3,4).
Pede-se as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado BC e pelo vértice A.
Resumo do que precisamos obter: as equações x(t),\;y(t),\;z(t) de uma reta que passe por A e pelo ponto médio de BC.
Passo 2
Primeiro calculemos o ponto médio M do segmento BC. A fórmula do ponto médio entre B=(x_B,y_B,z_B) e C=(x_C,y_C,z_C) é
Agora precisamos do vetor direção da reta que liga A a M. O vetor direção pode ser tomado como \vec{d}=M-A. Se A=(x_A,y_A,z_A) e M=(x_M,y_M,z_M), então
\vec{d}=(x_M-x_A,\;y_M-y_A,\;z_M-z_A).
Com A=(2,3,-6) e M=(1,-1,3) temos
\vec{d}=(1-2,\;-1-3,\;3-(-6))=(-1,-4,9).
Passo 4
Uma forma padrão de escrever as equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) com direção \vec{d}=(d_x,d_y,d_z) é
x=x_0+d_x t,\qquad y=y_0+d_y t,\qquad z=z_0+d_z t.
Usando o ponto A=(2,3,-6) e \vec{d}=(-1,-4,9) obtemos a parametrização
x=2 - t,\qquad y=3 - 4t,\qquad z=-6+9t.
(Isto descreve a reta pedida; note que a parametrização não é única: pode-se trocar t por afim de t e obter outra forma equivalente.)
Passo 5
Agora compararemos com as alternativas. A alternativa (d) dá
x=1+t,\qquad y=-1+4t,\qquad z=3-9t.
Observação: essa alternativa parte do ponto M=(1,-1,3) com vetor direção (1,4,-9). Note que (1,4,-9)=-1\cdot(-1,-4,9), ou seja, é o vetor \vec{d} multiplicado por -1. Multiplicar a direção por -1 apenas inverte o sentido do parâmetro, mas representa a mesma reta. Podemos verificar diretamente que essa parametrização também passa por M (quando t=0) e por A (quando t=1):
para t=0: (x,y,z)=(1,-1,3)=M;
para t=1: (x,y,z)=(2,3,-6)=A.
Portanto a alternativa (d) representa exatamente a mesma reta que encontramos em