Q12: Considere o ponto P=(4,-5, \sqrt{2}, 0) e a reta r= span (1,-1,0,1). A distância entre P e o ponto de r mais próximo de P é:
(A) 2
(B) 5
(C) 3
(D) 4
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá:
  • O ponto P=(4,-5,\sqrt{2},0).
  • A reta r=\operatorname{span}(1,-1,0,1), ou seja, todos os pontos da forma t(1,-1,0,1) com t\in\mathbb{R}.
O que se pede:
  • A distância entre P e o ponto de r mais próximo de P. Em outras palavras, encontrar a menor distância de P até qualquer ponto da reta r.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática):
  • Para encontrar o ponto de r mais próximo de P, projetamos o vetor posição de P sobre a direção da reta. A reta é o subespaço gerado pelo vetor v=(1,-1,0,1).
  • A projeção ortogonal de um vetor u sobre um vetor v (com v\neq0) é dada por
\operatorname{proj}_{v}(u)=\frac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle}\,v,
onde \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno padrão (produto escalar) e \langle v,v\rangle=\|v\|^2 é o quadrado da norma de v.
  • O ponto da reta mais próximo de P corresponde à projeção ortogonal de P sobre a direção v. A distância pedida é a norma do vetor diferença P-\operatorname{proj}_{v}(P).
Explicando o produto interno e norma de forma simples:
  • Para dois vetores a=(a_1,a_2,a_3,a_4) e b=(b_1,b_2,b_3,b_4) em \mathbb{R}^4,
\langle a,b\rangle=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+a_4b_4.
  • A norma de a é \|a\|=\sqrt{\langle a,a\rangle}.

Passo 3

Calcular o produto interno \langle P,v\rangle.
Usando P=(4,-5,\sqrt{2},0) e v=(1,-1,0,1),
\langle P,v\rangle=4\cdot1 + (-5)\cdot(-1) + \sqrt{2}\cdot0 + 0\cdot1.
Agora computa cada termo: 4\cdot1=4, (-5)\cdot(-1)=5, os outros são zero. Logo
\langle P,v\rangle = 4+5+0+0 = 9.

Passo 4

Calcular \langle v,v\rangle (o quadrado da norma de v).
Com v=(1,-1,0,1),
\langle v,v\rangle = 1^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 1+1+0+1 = 3.

Passo 5

Calcular a projeção de P sobre v usando a fórmula.
\operatorname{proj}_{v}(P)=\frac{\langle P,v\rangle}{\langle v,v\rangle}\,v = \frac{9}{3}\,v = 3\,v.
Portanto
\operatorname{proj}_{v}(P)=3(1,-1,0,1)=(3,-3,0,3).

Passo 6

Encontrar o vetor diferença P-\operatorname{proj}_{v}(P), que vai do ponto projetado ao ponto P.
P-\operatorname{proj}_{v}(P) = (4,-5,\sqrt{2},0) - (3,-3,0,3).
Subtraindo coordenada a coordenada:
P-\operatorname{proj}_{v}(P) = (4-3,\\\ -5-(-3),\\ \sqrt{2}-0,\\\ 0-3) = (1,-2,\sqrt{2},-3).

Passo 7

Calcular a norma desse vetor diferença — essa norma é a distância buscada.
Primeiro o quadrado da norma:
\|P-\operatorname{proj}_{v}(P)\|^2 = 1^2 + (-2)^2 + (\sqrt{2})^2 + (-3)^2.
Calculando: 1^2=1, (-2)^2=4, (\sqrt{2})^2=2, (-3)^2=9. Somando:
\|P-\operatorname{proj}_{v}(P)\|^2 = 1+4+2+9 = 16.
Logo a norma é
\|P-\operatorname{proj}_{v}(P)\| = \sqrt{16} = 4.

Passo 8

Interpretação final e resposta: a distância entre P e o ponto de r mais próximo de P é 4.

Resposta

(D) 4

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