Q12: Considere o ponto
e a reta
span
. A distância entre
e o ponto de
mais próximo de
é:
(A) 2
(B) 5
(C) 3
(D) 4
(E) Não sei
(A) 2
(B) 5
(C) 3
(D) 4
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado dá:
- O ponto
. - A reta
, ou seja, todos os pontos da forma com .
O que se pede:
- A distância entre
e o ponto de mais próximo de . Em outras palavras, encontrar a menor distância de até qualquer ponto da reta .
Passo 2
Ideia do método (explicação didática):
- Para encontrar o ponto de
mais próximo de , projetamos o vetor posição de sobre a direção da reta. A reta é o subespaço gerado pelo vetor . - A projeção ortogonal de um vetor
sobre um vetor (com ) é dada por
onde
é o produto interno padrão (produto escalar) e
é o quadrado da norma de
.
- O ponto da reta mais próximo de
corresponde à projeção ortogonal de sobre a direção . A distância pedida é a norma do vetor diferença .
Explicando o produto interno e norma de forma simples:
- Para dois vetores
e em ,
- A norma de
é .
Passo 3
Calcular o produto interno
.
Usando
e
,
Agora computa cada termo:
,
, os outros são zero. Logo
Passo 4
Calcular
(o quadrado da norma de
).
Com
,
Passo 5
Calcular a projeção de
sobre
usando a fórmula.
Portanto
Passo 6
Encontrar o vetor diferença
, que vai do ponto projetado ao ponto
.
Subtraindo coordenada a coordenada:
Passo 7
Calcular a norma desse vetor diferença — essa norma é a distância buscada.
Primeiro o quadrado da norma:
Calculando:
,
,
,
. Somando:
Logo a norma é
Passo 8
Interpretação final e resposta: a distância entre
e o ponto de
mais próximo de
é
.
Resposta
(D) 4