Q17: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & -3 & -1 & -4 \\\\ -2 & -1 & -1 & 2 \\\\ 2 & 0 & 6 & 9 \\\\ 2 & 4 & -1 & 4 \end{array}\right]
Assinale o valor de x_{3}, a 3^{\text {a }} entrada da solução $vec{x}.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear sob a forma da matriz aumentada. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido (peguei estes números diretamente da matriz aumentada do enunciado):
  • Matriz dos coeficientes A (cada linha é uma equação):
A=\begin{pmatrix} -1 & -3 & -1\\[4pt] -2 & -1 & -1\\[4pt] 2 & 0 & 6\\[4pt] 2 & 4 & -1 \end{pmatrix}
  • Vetor dos termos independentes \vec{b}:
\vec{b}=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]2\\[4pt]9\\[4pt]4\end{pmatrix}
  • O enunciado pede a solução \vec{x} no sentido dos mínimos quadrados do sistema A\vec{x}=\vec{b} e, em particular, pede o valor da terceira componente x_{3}.]

Passo 2

O que significa “solução no sentido dos mínimos quadrados” e qual é a equação que usamos.
  • Para um sistema possivelmente sobredeterminado A\vec{x}=\vec{b} (mais equações que incógnitas), a solução dos mínimos quadrados é o vetor \vec{x} que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos \|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}.
  • Escrevendo o resíduo \vec{r}(\vec{x})=\vec{b}-A\vec{x}, queremos minimizar f(\vec{x})=\vec{r}(\vec{x})^{T}\vec{r}(\vec{x})=(\vec{b}-A\vec{x})^{T}(\vec{b}-A\vec{x}).
  • Derivando f em relação a \vec{x} e igualando a zero (condição do mínimo), obtemos as chamadas equações normais:
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
  • Aqui A^{T} é a transposta de A. Essa é a equação linear que vamos resolver para achar a solução de mínimos quadrados.

Passo 3

Calcular A^{T}A. Vou calcular elemento a elemento usando produto escalar de colunas (cada entrada (i,j) de A^{T}A é o produto escalar da coluna i de A com a coluna j de A).
  • As colunas de A são
c_{1}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-2\\[4pt]2\\[4pt]2\end{pmatrix},\quad c_{2}=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]-1\\[4pt]0\\[4pt]4\end{pmatrix},\quad c_{3}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\\[4pt]6\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
  • Calculemos os produtos escalares:
\begin{aligned} c_{1}\cdot c_{1}&=(-1)^{2}+(-2)^{2}+2^{2}+2^{2}=1+4+4+4=13,\\[4pt] c_{1}\cdot c_{2}&=(-1)(-3)+(-2)(-1)+2\cdot0+2\cdot4=3+2+0+8=13,\\[4pt] c_{1}\cdot c_{3}&=(-1)(-1)+(-2)(-1)+2\cdot6+2(-1)=1+2+12-2=13,\\[4pt] c_{2}\cdot c_{2}&=(-3)^{2}+(-1)^{2}+0^{2}+4^{2}=9+1+0+16=26,\\[4pt] c_{2}\cdot c_{3}&=(-3)(-1)+(-1)(-1)+0\cdot6+4(-1)=3+1+0-4=0,\\[4pt] c_{3}\cdot c_{3}&=(-1)^{2}+(-1)^{2}+6^{2}+(-1)^{2}=1+1+36+1=39. \end{aligned}
  • Assim,
A^{T}A= \begin{pmatrix} 13 & 13 & 13\\[4pt] 13 & 26 & 0\\[4pt] 13 & 0 & 39 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular A^{T}\vec{b}. Cada entrada é o produto escalar de uma coluna de A com \vec{b}.
  • Usando as colunas c_{1},c_{2},c_{3} e \vec{b}=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]2\\[4pt]9\\[4pt]4\end{pmatrix}:
\begin{aligned} c_{1}\cdot\vec{b}&=(-1)(-4)+(-2)(2)+2(9)+2(4)=4-4+18+8=26,\\[4pt] c_{2}\cdot\vec{b}&=(-3)(-4)+(-1)(2)+0(9)+4(4)=12-2+0+16=26,\\[4pt] c_{3}\cdot\vec{b}&=(-1)(-4)+(-1)(2)+6(9)+(-1)(4)=4-2+54-4=52. \end{aligned}
  • Logo,
A^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix}26\\[4pt]26\\[4pt]52\end{pmatrix}.]

Passo 5

Montar e simplificar as equações normais.
  • As equações normais são
\begin{pmatrix} 13 & 13 & 13\\[4pt] 13 & 26 & 0\\[4pt] 13 & 0 & 39 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}26\\[4pt]26\\[4pt]52\end{pmatrix}.
  • Escrevendo componente a componente:
\begin{aligned} 13x_{1}+13x_{2}+13x_{3}&=26,\\[4pt] 13x_{1}+26x_{2}+0x_{3}&=26,\\[4pt] 13x_{1}+0x_{2}+39x_{3}&=52. \end{aligned}
  • Podemos dividir cada equação por 13 para simplificar:
\begin{aligned} x_{1}+x_{2}+x_{3}&=2,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}&=2,\\[4pt] x_{1}+3x_{3}&=4. \end{aligned}]

Passo 6

Resolver o sistema simplificado por substituição (etapa a etapa).
  • Da segunda equação temos
x_{1}=2-2x_{2}.
  • Substituindo em x_{1}+x_{2}+x_{3}=2:
(2-2x_{2})+x_{2}+x_{3}=2 \quad\Rightarrow\quad 2-x_{2}+x_{3}=2.
  • Subtraindo 2 de ambos os lados:
-x_{2}+x_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=x_{2}.
  • Substituindo x_{1}=2-2x_{2} e x_{3}=x_{2} na terceira equação x_{1}+3x_{3}=4:
(2-2x_{2})+3x_{2}=4 \quad\Rightarrow\quad 2+x_{2}=4.
  • Assim
x_{2}=2.
  • Então x_{3}=x_{2}=2 e x_{1}=2-2x_{2}=2-4=-2.

Passo 7

Conclusão: a solução de mínimos quadrados é
\vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]2\\[4pt]2\end{pmatrix}
e, portanto, a terceira componente pedida vale 2.]

Resposta

x_{3}=2

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