Assinale o valor de x_{3}, a 3^{\text {a }} entrada da solução $vec{x}.
Passo 1
O enunciado fornece o sistema linear sob a forma da matriz aumentada. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido (peguei estes números diretamente da matriz aumentada do enunciado):
Matriz dos coeficientes A (cada linha é uma equação):
O enunciado pede a solução \vec{x} no sentido dos mínimos quadrados do sistema A\vec{x}=\vec{b} e, em particular, pede o valor da terceira componente x_{3}.]
Passo 2
O que significa “solução no sentido dos mínimos quadrados” e qual é a equação que usamos.
Para um sistema possivelmente sobredeterminado A\vec{x}=\vec{b} (mais equações que incógnitas), a solução dos mínimos quadrados é o vetor \vec{x} que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos \|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}.
Escrevendo o resíduo \vec{r}(\vec{x})=\vec{b}-A\vec{x}, queremos minimizar f(\vec{x})=\vec{r}(\vec{x})^{T}\vec{r}(\vec{x})=(\vec{b}-A\vec{x})^{T}(\vec{b}-A\vec{x}).
Derivando f em relação a \vec{x} e igualando a zero (condição do mínimo), obtemos as chamadas equações normais:
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Aqui A^{T} é a transposta de A. Essa é a equação linear que vamos resolver para achar a solução de mínimos quadrados.
Passo 3
Calcular A^{T}A. Vou calcular elemento a elemento usando produto escalar de colunas (cada entrada (i,j) de A^{T}A é o produto escalar da coluna i de A com a coluna j de A).